Diskrete Wahrscheinlichtkeitsverteilung

Kann ein Ereignis unter gegebenen Bedingungen entweder eintreten oder nicht eintreten, so nennt man es zufällig. Wenn unter bestimmten Bedingungen eines von $n$ einander ausschließenden zufälligen Ereignissen eintreten muss, wobei keines der Ereignisse den anderen vorzuziehen ist, so haben diese Ereignisse die gleiche Wahrscheinlichkeit $p = 1/n$. Falls irgendein zufälliges Ereignis als Folge irgendeines von $x$ Ereignissen aus einer Gesamtzahl von $n$ möglichen Ereignissen, die einander ausschließen und gleich wahrscheinlich sind, eintritt, so bezeichnet man die Wahrscheinlichkeit mit $p= x/n$.

Die einfachste Betrachtung zur Wahrscheinlichkeitsrechnung ist ein Experiment mit 2 möglichen Ausgängen. Beispiele: Münzwurf, Lottogewinn ja/nein, etc. Ausgänge eines sogenannten Bernoulli-Versuchs werden mit der diskreten Zufallsvariablen $( x = 0 ,1 )$ bezeichnet:

	Ausgang	Wahrscheinlichkeit
Erfolg	$x=1$	$p$
Misserfolg	$x=0$	$q = 1 - p$

$\Longrightarrow$ Wahrscheinlichkeitsverteilung für Bernoulli-Versuch:

$$P (x,p) = p^{x} q^{1-x} = p^{x} (1-p)^{1-x}$$

Die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten irgendeines von mehreren einander ausschließenden Ereignissen ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse. Die Wahrscheinlichkeit eine 1, 2, oder 3 zu würfeln wäre also $1/6 + 1/6 +1/6 = 1/2$.
Die Wahrscheinlichkeit für das gleichzeitige Auftreten mehrerer Ereignisse ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse, wobei der mögliche Einfluss aller vorher eingetretenen Ereignisse berücksichtigt werden muss (z.B. zurücklegen oder nicht-zurücklegen von Lottokugeln). Die Wahrscheinlichkeit eine 1, dann eine 2 und anschleißend eine 3 zu würfeln wäre $p= 1/6 \cdot 1/6 \cdot 1/6 = 1/216$.

Beim Würfeln werde die Sechs als Erfolg gewertet, die Erfolgswahrscheinlichkeit ist also $p=1/6$, die komplementäre Misserfolgswahrscheinlichkeit $q=1-p=5/6$. Gefragt sei die Wahrscheinlichkeit nach in $n=5$ Würfen genau $x = 2$ Sechsen zu werfen.
Die Wahrscheinlichkeit, erst zwei Sechsen zu werfen, dann drei Nicht-Sechsen zu werfen ist $p^{2} q^{3} = p^{2} (1-p)^{3}$ . Da es aber auf die Reihenfolge nicht ankommt, ist diese Wahrscheinlichkeit zu multiplizieren mit der Anzahl der Möglichkeiten, zwei (ununterscheidbare) Sechserwürfe auf fünf Würfe zu verteilen. Die Anzahl dieser Möglichkeiten ist durch den Binomialkoeffizienten $\binom{5}{2}$ gegeben und die gesuchte Antwort ist: $\binom{5}{2} p^{2} q^{5-2}$.
(Der Binomialkoeffizient $\binom{n}{x}$ gibt an, auf wieviel verschiedene Arten man $x$ Objekte aus einer Anzahl von $n$ Objekten ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge auswählen kann. $\binom{49}{6}$ entspricht damit beispielsweise der Anzahl möglicher Ziehungen beim Lotto. Die darin vorkommende Fakultätist ein Produkt und so definiert: $n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n$. $0!$ wird gleich $1$ gesetzt. Die Zahl $e$ lässt sich als Summe der Kehrwerte zu Fakultäten definieren: $e = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \cdots$ )

$\Longrightarrow$ die Wahrscheinlichkeit, in $n$ Bernoulli-Versuchen $x$ -mal Erfolg zu haben, ist gegeben durch die Binomialverteilung:

$$\boxed{ \boxed{ P (x;p;n) = \binom{n}{x} \; p^{x} (1-p)^{n-x} = \frac{n!}{(n-x)! x!} \; p^{x} (1-p)^{n-x} }}$$ (1.39)

Diese Wahrscheinlichkeit ist am größten für $np+p-1\leq x \leq np+p$.

Für den Fall $n=1$ erhalten wir wieder die einfache Bernoulliwahrscheinlichkeit. Geht $n\rightarrow\infty$ und $p\rightarrow 0$, dann erhalten wir im Grenzfall die Poissonverteilung:

$$\begin{array}{rcl} P(x \mid p,n) & = & {n \choose x} p^{x}\, ... ...thrm{e}^{-\lambda}\quad \text{wenn}\quad n\to\infty \end{array}$$

Eine Faustregel besagt, dass diese Näherung brauchbar ist, wenn $n\geq 50$ und $p\leq 0{,}05$.

Logarithmieren wir die Binomialverteilung auf beiden Seiten, gewinnen wir wieder eine wahre Aussage! (Die einzelnen Terme der folgenden Gleichung sind farbig markiert um sie den anschließend abgeleiteten Termen zuzuordnen.)

$$\ln P (x;p;n) = \ln (n!) - \textcolor{rot}{\ln ((n-x)!)} - \textc... ...ge}{\ln(x!)} + \textcolor{gruen}{x \ln(p)} + \textcolor{blau}{(n-x) \ln(1-p)}$$