Eigenschaften der Gauß-Verteilung

Die erste Ableitung ist $\frac{d P(x,\mu,\sigma^{2})}{dx} = - \frac{x-\mu}{\sigma^{2}} P(x,\mu,\sigma^{2})$ und wie man in Abildung leicht sehen kann, ist die Gauß-Verteilung im Gegensatz zur Binomialverteilung symmetrisch um ihr Maximum bei $x=\mu$. Das Maximum beträgt dort $P(x = \mu,\sigma^{2}) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}}$.

Die zweite Ableitung lautet $\frac{d^{2} P(x,\mu,\sigma^{2})}{dx^{2}} = \frac{1}{\sigma^{2}} \left( \frac{1}{\sigma^{2}} (x-\mu)^{2} \right) P(x,\mu,\sigma^{2})$. Somit liegen die Wendepunkte bei $x = \mu \pm \sigma$.

Wahrscheinlichkeit:

Intervall	innerhalb	außerhalb
$\vert x-\mu\vert \leq 1 \sigma$	68,27 %	31,73 %
$\vert x-\mu\vert \leq 2 \sigma$	95,45 %	4,55 %
$\vert x-\mu\vert \leq 3 \sigma$	99,73 %	0,27 %
$\vert x-\mu\vert \leq 4 \sigma$	99,99 %	0,01 %
$\vert x-\mu\vert \leq 5 \sigma$		5 $\cdot \; 10^{-7}$

Wenn $\mu$ bereits bekannt ist,

z.B. beim Würfeln oder abgeleitet einer bereits bekannten radioaktiven Zerfallskonstanten, dann definiert man $\sigma$ als die erwartete Standardbaweichung einer gaußverteilten Zufallsvariablen. Ein wichtiger Spezialfall ist, dass die Gaußverteilung der Grenzfall der Binomialverteilung ist

$$\Rightarrow \sigma^{2} = \mu$$    oder $$\qquad \qquad \sigma = \sqrt{\mu}$$

Die Standardabweichung ist die Wurzel der erwarteten mittleren Zahl der beobachteten Ereignisse.

Wenn $\mu$ nicht von vorneherein bekannt ist,

dann muss man die Parameter schätzen.

• Bei nur einer Messung nimmt man an, dass der Messwert $x$ gleich dem Mittelwert $\mu = x$ ist und setzt die Standardabweichung der Messung $\sigma = \sqrt{x}$.
• Bei $n$ gleichen, wiederholten Messungen verbessert man die Schätzung des Mittelwerts über den Mittelwert der Messungen.

  $$\mu = \langle x\rangle = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_{i}$$ (1.44)

  Falls die Messung wirklich statistisch gaußverteilt ist, gilt $\sigma = \sqrt{\langle x \rangle}$, was man mit

  $$\sigma = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} ( x_{i} -\langle x \rangle )^{2} }$$ (1.45)

  überprüfen kann:

$$\begin{array}{rcl} (n-1) \sigma^2 & = & \displaystyle \sum_{i... ...{i=1}^{n} ( x_{i}^{2} - \langle x \rangle^{2} ) \\ \end{array}$$