Das Ziegenproblem

Damit man weiß wovon man bei Wahrscheinlichkeiten spricht, nochmal ein kleine Definition: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist das Verhältnis der günstigen Ergebnisse zur Gesamtmenge der Ergebnisse.

So ist zum Beispiel die Wahrscheinlichkeit, mit einem Sechserwürfel eine ungerade Zahl zu werfen, 0,5. Dies entspricht einer relativen Häufigkeit von 50%, denn es gibt sechs mögliche Ergebnisse, von denen drei die genannte Eigenschaft besitzen. Diese Festlegung ist die Grundlage der klassischen Wahrscheinlichkeitstheorie. Die Elementarereignisse besitzen gleiche Eintrittswahrscheinlichkeiten. Voraussetzung ist eine endliche Ergebnismenge und Kenntnis der A-priori-Wahrscheinlichkeiten. Beispiel: Bei einem fairen Würfel (das heißt kein Ergebnis wird durch unsymmetrische Massenverteilung oder Ähnliches bevorzugt) überlegt man sich, dass jede Zahl die gleiche Chance hat und daher in 1/6 aller Versuche erscheinen wird. Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses gerade Zahl berechnet man wie folgt: Es gibt drei günstige Ergebnisse (2, 4, 6), aber sechs mögliche Ergebnisse, daher erhält man 3/6 = 0,5 als Resultat.

Beim Ziegenproblem soll man eins von 3 verschlossenen Toren auswählen (Erste Wahl). Hinter einem Tor ist ein Gewinn, hinter den beiden anderen ist eine Ziege. Nach der Wahl wird eins von den nicht gewählten Toren mit einer Ziege (Ziegentor) dahinter geöffnet. Man darf (Zweite Wahl) bei seiner Auswahl bleiben oder das andere, noch ungeöffnete Tor auswählen. Welche Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn (Erfolg) hat man wenn

• Man bei seiner ursprünglichen Wahl bleibt
• Man das ausgewählte Tor wechselt.

Hier sind (scheinbar) alle Möglichkeiten aufgelistet:

Erste Wahl Tor A,	Ziegentor B geöffnet,	Zweite Wahl A.	Gewinn in A.	Erfolg
Erste Wahl Tor A,	Ziegentor B geöffnet,	Zweite Wahl A.	Gewinn in C.	Misserfolg
Erste Wahl Tor A,	Ziegentor B geöffnet,	Zweite Wahl C.	Gewinn in A.	Misserfolg
Erste Wahl Tor A,	Ziegentor B geöffnet,	Zweite Wahl C.	Gewinn in C.	Erfolg
Erste Wahl Tor A,	Ziegentor C geöffnet,	Zweite Wahl A.	Gewinn in A.	Erfolg
Erste Wahl Tor A,	Ziegentor C geöffnet,	Zweite Wahl A.	Gewinn in B.	Misserfolg
Erste Wahl Tor A,	Ziegentor C geöffnet,	Zweite Wahl B.	Gewinn in A.	Misserfolg
Erste Wahl Tor A,	Ziegentor C geöffnet,	Zweite Wahl B.	Gewinn in B.	Erfolg
Erste Wahl Tor B,	Ziegentor A geöffnet,	Zweite Wahl B.	Gewinn in B.	Erfolg
Erste Wahl Tor B,	Ziegentor A geöffnet,	Zweite Wahl B.	Gewinn in C.	Misserfolg
Erste Wahl Tor B,	Ziegentor A geöffnet,	Zweite Wahl C.	Gewinn in B.	Misserfolg
Erste Wahl Tor B,	Ziegentor A geöffnet,	Zweite Wahl C.	Gewinn in C.	Erfolg
Erste Wahl Tor B,	Ziegentor C geöffnet,	Zweite Wahl B.	Gewinn in B.	Erfolg
Erste Wahl Tor B,	Ziegentor C geöffnet,	Zweite Wahl B.	Gewinn in A.	Misserfolg
Erste Wahl Tor B,	Ziegentor C geöffnet,	Zweite Wahl A.	Gewinn in B.	Misserfolg
Erste Wahl Tor B,	Ziegentor C geöffnet,	Zweite Wahl A.	Gewinn in A.	Erfolg
Erste Wahl Tor C,	Ziegentor A geöffnet,	Zweite Wahl C.	Gewinn in C.	Erfolg
Erste Wahl Tor C,	Ziegentor A geöffnet,	Zweite Wahl C.	Gewinn in B.	Misserfolg
Erste Wahl Tor C,	Ziegentor A geöffnet,	Zweite Wahl B.	Gewinn in C.	Misserfolg
Erste Wahl Tor C,	Ziegentor A geöffnet,	Zweite Wahl B.	Gewinn in B.	Erfolg
Erste Wahl Tor C,	Ziegentor B geöffnet,	Zweite Wahl C.	Gewinn in C.	Erfolg
Erste Wahl Tor C,	Ziegentor B geöffnet,	Zweite Wahl C.	Gewinn in A.	Misserfolg
Erste Wahl Tor C,	Ziegentor B geöffnet,	Zweite Wahl A.	Gewinn in C.	Misserfolg
Erste Wahl Tor C,	Ziegentor B geöffnet,	Zweite Wahl A.	Gewinn in A.	Erfolg

Es gibt keine weiteren Fälle. Es scheint auch keinen Grund zu geben, warum ein Fall häufiger eintreten soll, als der Andere. Erfolg und Misserfolg scheinen gleiche Anteile an der Gesamtzahl der möglichen Ereignisse zu haben. Erfolg und Misserfolg scheinen gleiche Anteile an der Teilmenge der möglichen Ereignisse mit Wahländerung zu haben. Erfolg und Misserfolg scheinen gleiche Anteile an der Teilmenge der möglichen Ereignisse ohne Wahländerung zu haben. Mit oder ohne Wahländerung könnte man einen Gewinn mit 50% Wahrscheinlichkeit annehmen.

Dem ist aber nicht so! Dummerweise gibt es einen Grund, warum ein Fall häufiger vorkommt: Die A-priori-Wahrscheinlichkeiten sind nicht für alle Fälle gleich. Wenn der Kandidat richtig geraten hat, bleiben dem Showmaster 2 Möglichkeiten ein Ziegentor zu öffnen. Wenn der Kandidat falsch geraten hat, bleibt dem Showmaster nur eine Möglichkeit ein Ziegentor zu öffnen. Es sind nur die in folgender Tabelle aufgelisteten 9 Möglichkeiten, die gleichverteilt auftreten sollen, weil nur die zufälligen Wahl des Kandidaten und die zufälligen Position des Gewinns gleiche Wahrscheinlichkeit repräsentiert. Es gibt nur 3 rote Diagonalelemente bei denen sich dem Showmaster 2 Möglichkeiten bieten, jedoch doppelt so viele Möglichkeiten bei denen der Showmaster zwangsläufig das Grüne Tor mit der Ziege öffnet.

Auflistung aller Fälle (Tore A, B, C):

		Gewinn in
		Tor A	Tor B	Tor C
	Tor A	BC	C	B
1.Wahl	Tor B	C	AC	A
	Tor C	B	A	AB

Genau in diesen Fällen, und es ist die Mehrheit, führt der Wechsel zum Erfolg. Der Fehler aus erster Tabelle liegt darin, das aus den Diagonalelementen zwei vollwertige Fälle gemacht wurden. Die jeweils 2 Möglichkeiten der Diagonalelemente treten nicht häufiger auf, nur weil sich daraus weitere Möglichkeiten ergeben. In Wahrheit teilen sich die eine von den 9 gleichwahrscheinlichen Möglichkeiten. Somit führt Wechseln in den grünen 2/3 zum Erfolg, wohingegen Beharren nur in den roten 1/3 Fällen zum Erfolg führt.

Die 3 Fälle richtiger Erstwahl im Ziegenproblem, bei denen der Kandidat jeweils noch beharren oder wechseln kann. Beharren führt hier zum Erfolg:

Erste Wahl Tor A,	Gewinn in A	Ziegentor B oder C geöffnet,	Beharrung	Erfolg
Erste Wahl Tor A,	Gewinn in A	Ziegentor B oder C geöffnet,	Wechsel	Misserfolg
Erste Wahl Tor B,	Gewinn in B	Ziegentor A oder C geöffnet,	Beharrung	Erfolg
Erste Wahl Tor B,	Gewinn in B	Ziegentor A oder C geöffnet,	Wechsel	Misserfolg
Erste Wahl Tor C,	Gewinn in C	Ziegentor A oder B geöffnet,	Beharrung	Erfolg
Erste Wahl Tor C,	Gewinn in C	Ziegentor A oder B geöffnet,	Wechsel	Misserfolg

Die 6 Fälle falscher Erstwahl im Ziegenproblem, bei denen der Kandidat wieder jeweils beharren oder wechseln kann. Wechseln führt hier zum Erfolg:

Erste Wahl Tor A,	Gewinn in B	Ziegentor C geöffnet,	Beharrung	Misserfolg
Erste Wahl Tor A,	Gewinn in B	Ziegentor C geöffnet,	Wechsel	Erfolg
Erste Wahl Tor A,	Gewinn in C	Ziegentor B geöffnet,	Beharrung	Misserfolg
Erste Wahl Tor A,	Gewinn in C	Ziegentor B geöffnet,	Wechsel	Erfolg
Erste Wahl Tor B,	Gewinn in A	Ziegentor C geöffnet,	Beharrung	Misserfolg
Erste Wahl Tor B,	Gewinn in A	Ziegentor C geöffnet,	Wechsel	Erfolg
Erste Wahl Tor B,	Gewinn in C	Ziegentor A geöffnet,	Beharrung	Misserfolg
Erste Wahl Tor B,	Gewinn in C	Ziegentor A geöffnet,	Wechsel	Erfolg
Erste Wahl Tor C,	Gewinn in A	Ziegentor B geöffnet,	Beharrung	Misserfolg
Erste Wahl Tor C,	Gewinn in A	Ziegentor B geöffnet,	Wechsel	Erfolg
Erste Wahl Tor C,	Gewinn in B	Ziegentor B geöffnet,	Beharrung	Misserfolg
Erste Wahl Tor C,	Gewinn in B	Ziegentor B geöffnet,	Wechsel	Erfolg

In der Summe führt hier Beharrung 3 mal zum Erfolg, während Wechseln 6 mal zum Erfolg führt. Damit ist das Ziegenproblem gelöst. Die Wahrscheinlichkeit für den Gewinn verdoppelt sich bei Annahme des Wechselangebots .

Warum haben wir aber bei der letzten Auflistung der Fälle insgesamt nur 18 Möglichkeiten und bei der ersten Tabelle 24? Welche sind herausgefallen? Ganz einfach, es sind die Fälle bei richtiger Erstwahl wo die Fälle mit Ziegentor X oder Y geöffneteinzeln aufgeführt werden was fälschlicherweise mit jeweils mit der vollen Wahrscheinlichkeit versehen wird.