Wegfall der Zinsperiode, momentane Verzinsung

An einem Beispiel schauen wir uns die Entwicklung augehend von jährlicher Verinsung über die halbjahrliche zur momentanen Verzinsung als Grenzfall immer weiterer Unterteilungen an. Im Beispiel ist der Jahreszins 100 %. Nach einem Jahr hat sich das Kapital bereits verdoppelt:

$\displaystyle K_1 = 1 \cdot (1+1)^1 = 2$

Legen wir das Kapital nach einem halben Jahr zum gleichen Jahreszinssatz erneut an, dann erhalten wird:

$\displaystyle K_2 = 1 \cdot (1+\frac{1}{2})^2 = 2,25$

Machen wir die Wiederanlage täglich, dann erhalten wir:

$\displaystyle K_{365} = 1 \cdot (1+\frac{1}{365})^365 = 2,71$

Ständige Wiederanlage führt über den Grenzwert $n \mapsto \infty$ zur Zahl $e$

$\displaystyle K_\infty = e = 2,71828...$ weil $\displaystyle \qquad e = \lim_{n \mapsto \infty} (1+\frac{1}{n})^n = 2,71...$

Allgemein können wir momentane Verzinsung ansetzen als

$\displaystyle K(t)= K_0 \cdot (1+\frac{p}{100})^{t/a}$
$\displaystyle = K_0 \cdot e^{\ln[(1+\frac{p}{100})^{t/a}]}$
$\displaystyle = K_0 \cdot e^{{t/a} \cdot \ln(1+\frac{p}{100})}$
$\displaystyle = K_0 \cdot e^{r t}$

mit der Zeitdauer eines Jahres $a$

und der Abkürzung $r=\frac{1}{a} \cdot \ln(1+\frac{p}{100})$ .

Der Zuwachs über die Zeit lässt sich einfach wieder zurückführen:

$\displaystyle \frac{K(t)}{K_{0}} = e^{r t} = e^{{t/a} \cdot \ln(1+\frac{p}{100})} = e^{\ln[(1+\frac{p}{100})^{t/a}]} = (1+\frac{p}{100})^{t/a}$

Im Falle der diskontinuierlichen Verzinsung lässt sich der Zuwachs auf den Zinssatz auflösen:

$\displaystyle \frac{K(t)}{K_{0}} = \left(1+\frac{p}{100}\right)^{n} \qquad \Lef... ...ad p = \left( \left(\frac{K(t)}{K_{0}}\right)^{(1/n)} -1 \right) \cdot 100$

Einen variablen Zinssatz $r(t)$ bauen wir über folgenden Ansatz ein

$\displaystyle K(t)= K_0 \cdot e^{\int_{0}^{\tau} r(t) dt}$

Kleine Übung: Welchen Zinsatz rauchen wir, um das Grundkapital $K_0$ von 105 Euro in 3 Jahren auf 153 Euro zu bringen?

$\displaystyle \frac{153}{105}^{(1/3)} - 1 = 13,37 \%$

Eine Bank bietet eine Geldanlage zu folgenden Zinssätzen an:

1. bis 3. Jahr:: 4,5 %
4. bis 6. Jahr:: 6,5 %

Welchen Betrag $K_0$

muss man anlegen, um nach 6 Jahren $K_6 = $

22000 Euro zu erhalten?

$\displaystyle 22000$ Euro $\displaystyle = K_0 \cdot \underbrace{ \left( 1 + \frac{4,5}{100} \right)^3 }... ...t \underbrace{ \left( 1 + \frac{6,5}{100} \right)^3 }_{\text{4. bis 6. Jahr}}$

Aufgelöst:

$\displaystyle K_0 = \frac{22000 \text{Euro} }{ \left( 1 + \frac{4,5}{100} \ri... ...{22000 \text{Euro} }{ (1,045)^3 \cdot (1,065)^3 } = 15959,71 \text{Euro}$

Das entspricht einem durchschnittlichen Zinssatz von:

$\displaystyle \frac{22000}{15959,71}^{(1/6)} - 1 = 5,49 \%$