Uebergang zum funktionalen Zusammenhang

Wenn wir Kästchen aus beliebig kleinen Intervalle mit dem wie vorher um das Intervall dividierten Betrag bilden, dann verfeinert sich die Treppe. Die Fläche unter der Treppe bleibt jedoch gleich. Und wenn die Treppe immer gleich bleibt, dann brauchen wir eigentlich den ganzen Rest nicht mehr. Wir haben mit der Treppe eine Art Summenfunktion für ein konstantes monatliches Einkommen. Diese Treppe ist in Abbildung gelb dargestellt. In Grün haben wir das ursprüngliche Konstante Einkommen dargestellt.

Diese Weite und die Höhe dieser Treppenstufen haben wir gewählt. Wir hätten sie auch anders wählen können. So lässt sich die Treppe weiter unterteilen, ohne dass sich etwas am Endergebnis ändet. Wir gewinnen nur weitere Zwischenschritte. Wichtig für die Deckungsgleichheit des Ergebnisses ist lediglich, dass man die Stufenhöhe $\Delta y$ pro $\Delta t$ nimmt. Manche Unterteilungen sind einfach abzuzählen (quantisiert) und nicht weiter zu unterteilen, wie beispielsweise Eurocent oder Atome. Andere Unterteilungen lassen sich immer weiter verfeinern in beispielweise immer kürzere Augenblicke. Wenn es um letztere geht, dann beginnt die Intergralrechnung. Wir kommen von der Gelben Treppenfunktion über die Blaue mit immer weiterer Verfeinerung zur roten kontinuierlichen Gerade. Das ist die Summenfunktion, die uns in Euro das bisher verdiente Geld angibt.

Figure: Deckungsgleichheit bei Kumulation

picture(5443,3686)(1180,-4100) (2551,-3811)(0,0)[b] 1% (2851,-3811)(0,0)[b] 2% (3151,-3811)(0,0)[b] 3% (3451,-3811)(0,0)[b] 4% (3751,-3811)(0,0)[b] 5% (4051,-3811)(0,0)[b] 6% (4351,-3811)(0,0)[b] 7% (4651,-3811)(0,0)[b] 8% (5251,-3811)(0,0)[b] 10% (5551,-3811)(0,0)[b] 11% (5851,-3811)(0,0)[b] 12% (4951,-3811)(0,0)[b] 9% (4276,-4036)(0,0)[b] $t$ in Monaten% (1351,-2011) (3976,-2311)(0,0)[lb] $\Delta y \;$   pro$\; \Delta t$% (3451,-2836)(0,0)[b] $\Delta t$% (4726,-3211)(0,0)[lb] konstantes Monatsgehalt% (2026,-1486)(0,0)[lb] Kleine Treppen ( $\Delta t = 2$ Wochen):% (2026,-1186)(0,0)[lb] $\sum_{\text{1.}}^{\text{9.}} \frac{400\; \text{Euro}}{\Delta t} \; \cdot \; \Delta t$% (2026,-886)(0,0)[lb] Große Treppen ( $\Delta t = 1$ Monat):% (2026,-1786)(0,0)[lb] $\sum_{\text{1.}}^{\text{18.}} \frac{200 \; \text{Euro}}{\Delta t} \; \cdot \; \Delta t$% (4576,-1936)(0,0)[lb] $\int \frac{d y \text{Euro}}{d t} \; \cdot \; dt$% (1726,-3436)(0,0)[rb]0 (1726,-2536)(0,0)[rb]1200 (1726,-1636)(0,0)[rb]2400 (1801,-736)(0,0)[rb]3600

Die Steigung dieser Geraden $\Delta y / \Delta t$ ist ist gerade die im Zeitraum $\Delta t$ verdiente Menge Geld. Wenn wir den Zeitraum $\Delta t$ immer kleiner machen und dabei dann den Zustand beliebig kleinerreichen, dann ändern wir auch das Symbol $\Delta t$ in $d t$. Wie oben erwähnt müssen wir die in diesem Zeitraum verdiente Menge Geld mitziehen und sie wird ebenfalls beliebig klein und mit $d y$ bezeichnet. $\Delta y / \Delta t$ ist das ursprünglich angenommene Gehalt pro Zeiteinheit.

$d y / d t$ ist der in einem Augenblick verdiente Betrag.

Die durch extreme Verfeinerung der Treppenstruktur entstandene Funktion ist eine Gerade mit der konstanten Steigung $C = d y / d t$, und weil sie Konstant ist in diesem Fall identisch mit jedem $\Delta y / \Delta t$ .

$$\int C dt = C \cdot t$$

Sie gibt uns den Zuwachs einer konstanten Einnahmequelle von einem Startpunkt an. Nur wo liegt der Startpunkt ? Diesen hatten wir bei den Summen über die Indizierung der Summanden im Griff. Bei einer kontinuierlichen Geraden gibt es aber nichts zu indizieren. Wenn wir abzählen wollen, dann gibt es zwischen beliebigen Punkten immer noch einen Weiteren.

Da die Summenbildung jedoch als kontinuierliche Funktion bekannt ist, genügt uns der Startpunkt und der Endndpunkt und wir bilden die Summer als Differenz der beiden Integralwerte:

$$\int_{t_1}^{t_2} C dt = \left[ C \cdot t \right]_{t_1}^{t_2} = \l... ... C \cdot t_2 \right) - \left( C \cdot t_1 \right) = C \left( t_2 - t_1 \right)$$

Das war jetzt eine Menge Aufwand, für einen einfachen konstanten Zuwachs. Wie sieht es jedoch mit anderen Zusammenhängen aus? Zum Beispiel einem linearen Anstieg mit der Steigung $m$ und dem Startwert $c$ bei $x=0$:

$$f(x) = m x + c$$

Bilden wir jetzt $\frac{d f(x)}{d x}$, dann ste

Figure: Obere und untere Abschaetzung

picture(5790,3390)(1439,-3826) (3001,-3811)(0,0)[b] 2% (3601,-3811)(0,0)[b] 3% (4201,-3811)(0,0)[b] 4% (4801,-3811)(0,0)[b] 5% (5401,-3811)(0,0)[b] 6% (6001,-3811)(0,0)[b] 7% (6601,-3811)(0,0)[b] 8% (2401,-3811)(0,0)[b] 1% (1731,-3581)(0,0)[rb]0 (1731,-2982)(0,0)[rb]0,2 (1731,-2382)(0,0)[rb]0,4 (1731,-1782)(0,0)[rb]0,6 (1731,-1184)(0,0)[rb]0,8 (1731,-584)(0,0)[rb]1

Diese Tabelle von Ableitungs- und Stammfunktionen (Integraltafel) gibt eine Übersicht über Ableitungsfunktionen und Stammfunktionen, die in der Differential- und Integralrechnung benötigt werden.