Ausgangspunkt Summation und Kumulation

Integrieren ist so etwas wie eine Summenbildung, wobei jedoch die Summanden einer Indizierung unterliegen. Diese Indizierung ist ein wesentlicher Punkt und macht einen Riesenunterschied zu einer zusammenhanglosen Addition. Nehmen wir als Beispiel eine Gehaltszahlung. Jede Gehaltszahlung ist beispielweise einem Beschäftigungsmonat zugeordnet und dadurch indiziert. Damit lässt sich die Summe über fortlaufende Monate, Quartale oder Jahre bilden. Für einen $400$ Euro-Jobber könnte eine Rechnung wie folgt aussehen:

$$\sum_{\text{1.Quartal}}^{\text{3.Quartal}} 400 \text{Euro}= 3600 \text{Euro}$$

Wenn man annimmt, dass der Jobber 40 Stunden im Monat arbeitet, dann könnte man dieselbe Rechnung mit einer feineren Unterteilung ausführen:

$$\sum_{\text{1ste Stunde}}^{\text{360ste Stunde}} 10 \, \text{Euro}= 3600 \, \text{Euro}$$

Es ist jedenfalls die gleiche Rechnung mit dem gleichen Ergebnis, nämlich über das Gehalt der ersten drei Quartale. Wir könnten das ganze auch in Dollar umrechnen. Es wäre immer noch das gleiche, nur das wir dann die Summanden selbst unterschiedlich eingeteilt hätten. Nämlich nicht in Euro, sondern in Dollar.

Aus diesem simplen Beispiel erschließt sich schon eine Fülle von Zusammenhängen, unter anderem aufgrund der Indizierung der Summanden. Damit der Unterschied zu einer Zusammenhanglosen Summation deutlich wird, können wir auch schreiben:

$$\sum_{\text{1.Quartal}}^{\text{3.Quartal}} \left( 1200 \; \frac{\... ...rac{\text{Euro}}{\text{Stunde}} \right) \cdot \text{Stunde} = 3600 \text{Euro}$$

Tatsächlich haben wir über dieselbe Sache, nämlich das Gehalt der ersten drei Quartale Summiert. Im Grunde könnte man die Stunden und Quartale kürzen, aber damit wird der Zusammenhang verschleiert. Die geklammerten Summanden, d.h. die Summanden haben jeweils einen anderen Wert, sind aber lediglich verschiedene Aufteilungen derselben Sache. Genauso könnte man verfahren mit einer Währungsumrechnung indem man Eurowerte über Dollarteile aufsummiert:

$$\sum_{\text{1.Quartal}}^{\text{3.Quartal}} \quad \underbrace{\lef... ...t)}_{\text{Währungsumrechnung}} \cdot \quad \text{Quartal} = 3600 \text{Euro}$$

Der zweite geklammerte Wert kann vor die Summe gezogen werden, wenn er konstant ist. Hat sich der Wechselkurs über den Zeitraum jedoch geändert, müssen die beiden geklammerten Werte immer individuell multipliziert werden. Obwohl das Ganze jetzt schon richtig kompliziert aussieht, haben wir nach wie vor dieselbe Sache aufsummiert, nämlich das Gehalt des 400 Euro-Jobbers.

Begeben wir uns in das Bild einer typischen Balkengrafik und stellen die Situation grafisch dar:

Grau hinterlegt sind die jeweiligen Beträge als Kästchen:

1. Die großen hellgrauen Kästchen sind ein Qartal breit und den Quatalsbetrag von 1200Euro hoch. Sie ergeben nebeneinanderliegend ein Plateau auf 1200Euro-Höhe. Sie sind teilweise verdeckt durch durch weite Kästchen.
2. Die kleinen dunklgrauen Kästchen sind einen Monat breit und den Monatsbetrag von 400Euro hoch. Sie ergeben nebeneinandeliegend ein Plateau auf 400Euro-Höhe.

Figure: Summation als Balkengrafik

picture(6016,4095)(1200,-4051) (2551,-3811)(0,0)[b] 1% (2851,-3811)(0,0)[b] 2% (3151,-3811)(0,0)[b] 3% (3451,-3811)(0,0)[b] 4% (3751,-3811)(0,0)[b] 5% (4051,-3811)(0,0)[b] 6% (4351,-3811)(0,0)[b] 7% (4651,-3811)(0,0)[b] 8% (5251,-3811)(0,0)[b] 10% (5551,-3811)(0,0)[b] 11% (5851,-3811)(0,0)[b] 12% (3751,-361)(0,0)[b] 2.QT% (4651,-361)(0,0)[b] 3.QT% (5551,-361)(0,0)[b] 4.QT% (2851,-361)(0,0)[b] 1.QT% (4951,-3811)(0,0)[b] 9% (7201,-2011) (4276,-4036)(0,0)[b] Monate% (1351,-2011) (4201,-136)(0,0)[b] Quartale% (1726,-3436)(0,0)[rb]0 (1726,-2536)(0,0)[rb]1200 (1726,-1636)(0,0)[rb]2400 (1801,-736)(0,0)[rb]3600 (6676,-3436)(0,0)[lb]0 (6676,-2536)(0,0)[lb]2400 (6676,-1636)(0,0)[lb]4800 (6676,-736)(0,0)[lb]7200

Die Summation durch Kopieren (kumulieren) und Weiterkopieren der Betragskästchen in den nächsten Bereich entlang der roten Pfeile, so dass am Ende der Erzielte Gesamtbetrag von 3600 Euro erreicht wird. Auffällig ist, dass die Oberkante der Kästchenstapel treppenförmig verläuft und die Oberkante der Quartalskästchen die der Monatskästchen übersteigt.

Indem wir nun nicht den absoluten Betrag, sondern den Betrag eines festen Zeitintervalls (Hier die Monatsbeträge) auftragen, kommen beide Treppchen zur Deckung und wir sind grafisch invariant gegenüber der Wahl des Berechnungsintervalls. Die Fläche der Kästchen wird proportional zur Summe, was vorher nicht gegeben war.

Figure: Deckungsgleichheit bei Kumulation

picture(6016,4095)(1200,-4051) (2551,-3811)(0,0)[b] 1% (2851,-3811)(0,0)[b] 2% (3151,-3811)(0,0)[b] 3% (3451,-3811)(0,0)[b] 4% (3751,-3811)(0,0)[b] 5% (4051,-3811)(0,0)[b] 6% (4351,-3811)(0,0)[b] 7% (4651,-3811)(0,0)[b] 8% (5251,-3811)(0,0)[b] 10% (5551,-3811)(0,0)[b] 11% (5851,-3811)(0,0)[b] 12% (3751,-361)(0,0)[b] 2.QT% (4651,-361)(0,0)[b] 3.QT% (5551,-361)(0,0)[b] 4.QT% (2851,-361)(0,0)[b] 1.QT% (4951,-3811)(0,0)[b] 9% (4276,-4036)(0,0)[b] Monate% (1351,-2011) (4201,-136)(0,0)[b] Quartale% (7201,-2011) (1726,-3436)(0,0)[rb]0 (1726,-2536)(0,0)[rb]1200 (1726,-1636)(0,0)[rb]2400 (1801,-736)(0,0)[rb]3600 (6676,-3436) (6676,-2536)(0,0)[lb]2400 (6676,-1636)(0,0)[lb]4800 (6676,-736)(0,0)[lb]7200