Ellipsoid

Strahlen aus einem Brennpunkt des Ellipsoids werden in den zweiten Brennpunkt vor dem Reflektor gebündelt. Das Bild einer Strahlenquelle scheint vor dem Reflektor in der Luft zu schweben. Es ist eine Überlagerung verschieden großer Bilder der Strahlenquelle und ist nur aus den Richtungen zu betrachten, unter denen sich hinter dem Luftbild der Reflektor befindet. Aus dem gleichen Grund wie beim Hyperboloid eignet sich der Ellipsoid zum Aufbau mehrstufiger optischer Systeme. In Abbbildung 1.5 sind einige Zusammenhänge von Ellipsen dargestellt. Die folgenden Formeln sind nützlich zur Reflektorentwicklung, vor allem aber zur Analyse von Fremdreflektoren.

Figure 1.5: Geometrische Zusammenhaenge einer Ellipse

Häufig benötigte Reflektorabmessungen errechnet man mit Tabelle 1.1.

Table 1.1: Zusammenhang der Abmessungen eines Ellipsoidreflektors

Benötigte Größen	Erhaltene Größe
$a$,$c$, $d$,$\alpha$	$h = a - c + \frac{d}{2} \; \tan \alpha$
$a$, $b$, $h$	$d = 2 \quad \sqrt[]{\left( 1- \left(\frac{ a - h }{a}\right)^{2} \right) b^{2}}$
$c$, $h$,$a$,$d$	$\alpha = \arctan\left( 2 \; \frac{c+h-a }{d} \right)$

Will man einen Ellipsoidreflektor in der Polardarstellung entwerfen kann man den Ausdruck zunächst unter Verwendung von $p = b^{2}/a$ und $c^{2} = a^{2} - b^{2}$ vereinfachen:

$$r(\varphi) = \frac{p}{1+\sqrt{1-\frac{b^{2}}{a^{2}}} \cos(\varphi... ...^{2}}{a^{2}}} \cos(\varphi)} = \frac{b^{2}}{a+\sqrt{a^{2}-b^{2}} \cos(\varphi)}$$

$$= \frac{b^{2}}{a+c \cos(\varphi)} = \frac{a^{2}-c^{2}}{a+c \cos(\varphi)} = \frac{(a+c)(a-c)}{a+c \cos(\varphi)}$$

Eine Kugel erhält man, wenn $a = b$ und damit $c=0$ ist. Die Lösungen für folgende Winkel lassen sich leicht ausrechnen:

$$r(0^{\circ}) = a-c$$

$$r(90^{\circ}) = p = \frac{b^{2}}{a}$$

$$r(180^{\circ}) = a+c$$

Anschließend gewinnen wir aus der Polardarstellung karthesische Koordinaten.

$$\left(\begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) = \frac{(a+... ...gin{array}{c} \cos(\varphi) \\ \sin(\varphi) \end{array}\right)$$ (1.2)

Verschiebt man den Koordinatenursprung um $c$ aus dem Brennpunkt in den Mittelpunkt der Ellipse $( x \stackrel{!}{=} \xi + c )$, dann erhält man

$$\left(\begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) = \frac{(a+... ...array}{c} \cos(\varphi) + c \\ \sin(\varphi) \end{array}\right)$$ (1.3)