Reihenentwicklung

Wie auch sonst in der Analysis werden alle Winkel im Bogenmaß angegeben.

Man kann zeigen, dass der Kosinus die Ableitung des Sinus darstellt und die Ableitung des Cosinus der negative Sinus ist. Hat man diese Ableitungen, kann man die Taylorreihe entwickeln (am einfachsten mit dem Entwicklungspunkt $x=0$) und zeigen, dass die folgenden Identitäten für alle ”x” aus den reellen Zahlen gelten. Mit diesen Reihen werden die trigonometrischen Funktionen für komplexe Argumente definiert ($B_n$ bzw. $\beta_n$ bezeichnet dabei die Bernoulli-Zahlen):

$$\sin x =\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1} =x - \f... ... + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} \pm\cdots \;,\qquad \vert x\vert < \infty$$

$$\cos x =\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n} =1 - \frac{... ...+ \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} \pm \cdots \;,\qquad \vert x\vert < \infty$$

$$\tan x = \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{2^{2n}(1-2^{2n})\beta_{2n}}{(2n)!}x^{2n-1}$$

$$= \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n}(2^{2n}-1)B_{n}}{(2n)!}x^{2n-1}$$

$$= x + \frac{1}{3}x^3 + \frac{2}{15}x^5 + \frac{17}{315}x^7 + \frac{62}{2835}x^9 + \, \cdots \qquad \vert x\vert < \tfrac{\pi}{2}$$

$$\cot x = \frac{1}{x}-\sum_{n=1}^\infty \frac{\left(-1\right)^{n-1}2^{2n} \beta_{2n}}{(2n)!} x^{2n - 1}$$

$$= \frac{1}{x}-\sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n} B_{n}}{(2n)!} x^{2n - 1}$$

$$= \frac{1}{x} - \frac{1}{3}x - \frac{1}{45}x^3 - \frac{2}{945}x^5 - \frac{1}{4725}x^7 - \,\cdots, \qquad 0 < \vert x\vert < \pi$$