Vektorrechnung im Raum

Drei Punkte $\vec{E0}$ , $\vec{E1}$ und $\vec{E2}$ spannen eine beliebig im dreidimensionalen Raum liegende Ebene $E$ auf. Der Aufpunkt $\vec{P}$ und ein Richtungsvektor $\vec{R}$ bilden eine Gerade $\vec{P} + \lambda \vec{R}$ die $E$ innerhalb oder außerhalb des Dreiecks mit den Eckpunkten $\vec{E0}$ , $\vec{E1}$ und $\vec{E2}$ durchstößt.
Normierte Ebenennormale:

$$\vec{N} = \frac{ \left( \vec{E1} - \vec{E0} \right) \times \left(... ...{E1} - \vec{E0} \right) \times \left( \vec{E2} - \vec{E0} \right) \right\vert }$$ (1.27)

Kürzester Abstand des Punktes $\vec{P}$ zur Ebene $E$

$$\mathrm{A} \quad = \quad \left( \vec{E0} - \vec{P} \right) \vec{N... ...\vec{P} \right) \vec{N} \quad = \quad \left( \vec{E2} - \vec{P} \right) \vec{N}$$ (1.28)

Lotpunkt von $\vec{P}$ auf $E$

$$\vec{\mathrm{L}} \quad = \vec{P} + \mathrm{A}\quad \vec{N}$$ (1.29)

Spiegelbild von $\vec{P}$ an $E$

$$\vec{\mathrm{S}} \quad = \vec{P} + 2 \left( \vec{\mathrm{L}} - \vec{P} \right)$$ (1.30)

Die vom Punkt $\vec{P}$ in der Richtung $\vec{R}$ ausgehende Gerade $\vec{P} + \lambda \vec{R}$ durchstößt $E$ am Punkt:

$$\vec{\mathrm{D}} \quad = \vec{P} + \frac{\left( \vec{L} - \vec{P}... ...{R} \right) \left( \vec{L} - \vec{P} \right)} \left( \vec{R} - \vec{P1} \right)$$ (1.31)

Figure: 3D Vektorrechnung

Dieser Punkt Liegt innerhalb des Dreiecks mit den Ecken $\vec{E0}$ , $\vec{E1}$ und $\vec{E2}$ wenn folgende Gleichung gilt:

$$\left\vert \frac{ \left(\left( \vec{E0} - \vec{E1} \right) \time... ...left( \vec{E2} - \vec{D} \right) \right)\vec{N} \right\vert} \right\vert = 3$$