Binomischer Satz/Pascalsches Dreieck

$\displaystyle (a+b)^0 = 1$

$\displaystyle (a+b)^1 = a+b$

$\displaystyle (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$

$\displaystyle (a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$

$\displaystyle (a+b)^4 = a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$

$\displaystyle k = 0 \dots n$

$\displaystyle (a+b)^n = {n \choose 0}a^{n} + {n \choose 1}a^{n-1}b + {n \choose 2}a^{n-2}b^2 + \dots + {n \choose n-1}ab^{n-1} + {n \choose n}b^n$

$\displaystyle = \sum_{k=0}^n {n \choose k}a^{n-k} b^k$

Schreibt man die Koeffizienten von $(a+b)^n$ zeilenweise, d.h. die von in Zeile $n$ , erhält man das Pascalsche Dreieck. $n$ über $k$ ist daher die $k$ -te Zahl in der $n$ -ten Reihe dieses Zahlendreiecks.