Herleitung

Die Grundidee der Berechnung ist aus Abbildung 1.8 ersichtlich. Sie stellt einen Querschnitt durch den hier kreisrund mit Radius $R$ angenommenen Strahler dar. Die beiden Polarkoordinaten $r$ und $\varphi$ bezeichnen einen beliebigen Punkt $P$ der Reflektoroberfläche. Der Mittelpunkt des Strahlers, ein beliebiger Punkt auf der Reflektoroberfläche und ein von ihm ausgehender und den Kreis tangierender Strahl $T$ bilden ein rechtwinkliges Dreieck.

Figure 1.8: Konstruktion eines nicht retroreflektierenden Reflektors

Die Berechnungsidee besteht darin, dass die Reflektoroberfläche am Punkt $P$ wenigstens senkrecht zur zugehörigen Tangente stehen muß. Dann wird ein Strahl gerade nicht mehr in den Strahler zurückgeworfen. Strahlen die in der Skizze von weiter links aus dem Strahler kommen werden nach der Reflexion am Punkt $(r,\varphi)$ weiter rechts, also außerhalb des Strahlerbereichs, passieren.

Drehen wir das rechtwinklige Dreieck $\overline{O,P,T}$ aus Abbildung 1.8 um den Punkt $P$ um $90^{\circ}$ wie in Abbildung 1.8, so können wir die Steigung der Reflektoroberfläche in karthesischen Koordinaten als $dx$ und $dy$ ablesen, denn die Kathete zwischen $P$ und $T$ steht nun senkrecht zu ihrer gedrehten Kathete.

Entsprechend den Bezeichnungen in Abbildung 1.8 gilt

$$b=\sqrt{c^{2} - a^{2}} \qquad \qquad h = \frac{a b}{c} \qquad \qquad q = \frac{b^{2}}{c}$$

daraus folgt mit der Analogie der beiden Dreiecke:

$$\frac{dx}{dy} = \frac{\sqrt{r^{2}-R^{2}}}{R}$$

Mit der Umrechnung von Polarkoordinaten in karthesische Koordinaten

$$x = - r \cos(\varphi) \qquad \qquad y = r \sin(\varphi)$$ (1.5)

kann man nun die Differenzenquotienten

$$\frac{dx}{d\varphi} = r \sin(\varphi) \qquad \qquad \frac{dy}{dr} = \sin(\varphi)$$

bilden. Aus ihnen gewinnen wir eine Differentialgleichung für die Form unserer Reflektoroberfläche.

$$\frac{d\varphi}{dr} = \frac{1}{r} \frac{dy}{dx} = -\frac{\sqrt{r^{2}-R^{2}}}{rR} = -\sqrt{\frac{1}{r^{2}}-\frac{1}{R^{2}}}$$

Diese Gleichung brauchen wir nur noch zu integrieren und erhalten die analytische Bestimmungsgleichung für unseren Reflektor^1.7.

$$\varphi = \varphi_{0} + \int^{r_{2}}_{r_{1}} \sqrt{\frac{1}{r^{2}... ...{2}-1} + \mathrm{arcos}\left( \frac{R}{r} \right) \right]^{r= r_{2}}_{r= r_{1}}$$ (1.6)

Das ist der Form nach eine Zykloide (Rollkurve).Sie beschreibt die Bahn eines Kreispunkts (Radius a),der ohne zu gleiten auf einer Geraden abrollt.

Allgemeine Form:

$$x = a \quad \mathrm{arcos}\left( \frac{ a - y }{a} \right) -\sqrt{ y \left( 2 a - y \right) } \qquad \qquad a \ge 0$$ (1.7)

Parameterdarstellung mit Wälzwinkel $t$ :

$$x = a \left( t - \sin t \right) \qquad \qquad y = a \left( 1 - \cos t \right)$$ (1.8)