Facettenreflektoren als allgemeiner Lösungsansatz

Ebene Facetten haben den Vorteil, dass ihre optische Wirkung leicht berechenbar ist und geringsten Einschränkungen unterliegt. Sie ordnen jedem Strahlerpunkt einen symmetrischen Strahlerbildpunkt zu. Mit einer feinen Unterteilung der Facetten lassen sich Freiflächenreflektoren und näherungsweise auch durch mathematische Zusammenhänge beschriebene kontinuierliche Reflektoroberflächen darstellen. Die Nachbildung des Hyperboloiden aus Abbildung 1.3 durch ebene Facetten könnte so aussehen wie in Abbildung 1.14

Figure 1.14: Nachbildung eines Hyperboloidreflektors

Links ist der Strahlengang des idealen Hyperboloiden dargestellt. Im rechten Reflektor wurde die Reflektorkurve zwischen den gezeichneten Strahlen linear interpoliert. Man beachte den unterschiedlichen Strahlengang. Der reale Unterschied verschwindet mit wachsender Stützstellenzahl. Dabei erhält sich auch die Anzahl der Strahlerbilder, deren Abbildungsmaßstab bei eins bleibt. Das vergrößerte Strahlerbild des Hyperboloiden ist äquivalent zu unendlich vielen nichtvergrößerten Strahlerbildern. Genauso kann man alle anderen kontinuierlichen Reflektoren annähern.

Vorteilhaft ist die einheitliche und einfache Vorstellbarkeit der Wirkung von ebenen Facetten. Die Spiegelung der Strahlen ist mit Gleichung 1.1 beschreibbar. Auswirkungen durch die endliche Ausdehnung der Spiegelfläche sind etwas komplizierter, aber entscheidend für die Verteilung der Bestrahlungsstärke im Zielgebiet. Zur Verdeutlichung ist in 1.15 ist die Abbildung eines Strahlers durch verschiedengroße ebene Spiegel dargestellt.

Figure 1.15: Abbildungseigenschaften einer Facette

Von links nach rechts wird der Spiegel immer kleiner. Links ist die Größe des Abbildungsbereichs von der Spiegelgröße abhängig. Man hat eine breite Überlagerung von kompletten Strahlerbildern. Die Divergenz der auf einen Spiegelpunkt treffenden Strahlen ist vernachlässigbar. Ganz rechts ist gerade diese Divergenz dafür verantwortlich, dass der Abbildungsbereich nicht kleiner wird. Die Größe des Spiegels bestimmt nur noch die Intensität, nicht aber die Ausdehnung des bestrahlten Bereichs. Der Spiegel rechts wirkt wie eine Lochkamera. In der mittleren Darstellung sieht man eine Mischform. Die vom Spiegel verursachte Überlagerung der Strahlerbilder ist etwa so breit wie das Strahlerbild. Natürlich ist die Breite des bestrahlten Bereichs auch noch abhängig vom Abstandsverhältnis von Strahler und Projektionsebene zum Spiegel.

Mißt man mit einem Bestrahlungsstärkemesser die Bestrahlungsstärkeverteilung, so erhält man im linken Fall zunächst eine stark ansteigende Bestrahlungsstärke. In diesem Bereich wird der Strahler im Spiegel zunehmend sichtbar. Wandert das Strahlerbild aus dem Spiegelbereich heraus, mißt man eine stark abnehmende Bestrahlungsstärke. Ist der Strahler ganz zu sehen, ändert sich an der Bestrahlungsstärke wenig (durch Richtungsabhängigkeit der Bestrahlungsstärkeverteilung, Abstandsänderung). Die am Strahler (Flächenelement $dS$) vorhandene Strahldichte $L$ bewirkt unter dem Winkel $\vartheta$ zur Normalen des Strahlerelements $dS$ und dem Winkel $\vartheta'$ zur Normalen des Detektorelements $dS'$ auf dem Bestrahlungsstärkemesser im Abstand $r$ entlang der gefalteten optischen Achse eine Bestrahlungsstärke $E = d\Phi / dS' = \int_{}^{} L \quad \left( \cos \vartheta \; \cos \vartheta' \right)/ r^{2} \quad dS$.

Der sehr kleine Spiegel im rechten Fall bildet den Strahler als (etwas unscharfes) reelles Bild ab. Vom Detektor aus gesehen kann man nur einen kleinen Ausschnitt des Strahlers im Spiegel sehen. Die gemessene Intensitätsverteilung entspricht der Strahldichteverteilung auf der Strahlenquelle. Die Kombination von Bestrahlungsstärkemesser und dem sehr kleinen Spiegel bewirkt eine Strahldichtemessung weil die Integration ber die projizierte Strahlerfläche $\int_{}^{} L \quad \left( \cos \vartheta \; \cos \vartheta' \right)/ r^{2} \quad dS$ nicht mehr ungehindert ausgeführt werden kann. Die am Strahler vorhandene Strahldichte $L$ bewirkt am Messer eine Bestrahlungsstärke $E$, die hauptsächlich vom durch den Spiegel bestimmten Beobachtungsraumwinkel $\Omega'' = \int \cos \vartheta''/r''^{2} dS''$ mit der Spiegelfläche $S''$ und dem Abstand $r''$ zwischen Detektor und Spiegel abhängt(analog Gleichung ). $E = d\Phi / dS' = \int_{}^{} L\left( \Omega'' \right) \quad \left( \cos \vart... ...} L \quad \left( \cos \vartheta \; \cos \vartheta' \right) \quad d\Omega''$. Der Übergang zwischen beiden Extremen ist fließend. Für den Reflektorentwurf wichtig sind die ins Feld bertragenen Strahlerinhomogenitäten im linken Fall. Sie sind durch überlagerung vieler Strahlerabbildungen oder eine Streustruktur zu verwischen.

Für die Entwicklung eines Reflektors bedeutet das, dass eine feine Reflektorstruktur nur bei genügend kleiner Strahlerabmessung und Reflektorgröße wirksam ist. Mit zunehmender Strahlergröße und abnehmender Facettenabmessung verschwindet der Einfluß der speziellen Oberflächenstrukturierung. Sie wird dann beispielsweise als Grad der gestreuten Reflexion als Stoffkennzahl erfaßt. Sind die Facettenabmessungen sehr groß gegen den Strahler, dann kann die Feldverteilung durch die Facettenanordnung bestimmt werden.

Zur Berechnung des Bestrahlungsfeldes muß i.a. die Ausdehnung und spezielle Form des Strahlers bercksichtigt werden. Eine feinere Unterteilung des Strahlers ist sinnvoll, solange sie Auswirkungen im Bestrahlungsfeld hat.

Rechnet man mit Facetten als Annäherung an kontinuierliche Flächen, so muß auch hier die Unterteilung solange verfeinert werden, bis Auswirkungen weiterer Unterteilungen vernachlässigt werden können. Sind die Facetten nicht nur Annäherung sondern die tatsächlich gewünschte Reflektorform, so erübrigt sich eine weitere Unterteilung. In Abbildung 1.16 sehen Sie einen solchen Reflektor.

Figure 1.16: Beispiel Facettenreflektor