Reflektoren

In der Optik sind Reflektoren Bauelemente, die Strahlung ausgehend von einer einer Strahlenquelle für einen speziellen Zweck verteilen. Die Rotationskörper der Kegelschnitte sind die erste Wahl und gelten als klassische Lösungsansätze. Mit diesen Konturen ändert man die Strahlrichtung punktförmig angenommener Strahlungsquelle so, als ob alle Strahlen von einem anderen Punkt, dem Bildpunkt, kommen würden.

Figure 1.1: Abbildung in der geometrischen Optik

Hier ist ein kleines Spielchen: In Abbildung 1.1 sind zwei Arten der optischen Abbildungen von zwei Punkten (Brennpunkte) dargestellt. Der Witz des Spielchens liegt darin, dass die Ausführung des Reflektors durch einen Vorhang verhüllt ist. Die Brennpunkte sind in den Abbildungen durch jeweils zwei Strahler repräsentiert. Hier kann man reelle und virtuelle Abbildungen^1.1 einführen und unterscheiden. Wesentlich für die reelle Abbildung ist, dass durch das reelle Bild echte optische Strahlung hindurchgeht. Würde man einen matten Schirm dort positionieren, könnte man auf ihm das reelle Bild betrachten. Das virtuelle Bild ist nur der Schnittpunkt der verlängert gedachten Strahlen. Am Ort des virtuellen Bildes findet sich keine Strahlung^1.2. Schaut man jedoch in das divergente Strahlenbündel, so kann man das virtuelle Bild an seinem Platz sehen.

Es lässt sich zeigen, dass Reflektoroberflächen für oben genannte optische Abbildung die Kontur von Kegelschnitten haben. Weitere Lösungen gibt es nicht. Ellipsoid, Hyperboloid und ebener Spiegel sind in Abbildung 1.2 im Bereich um die gestrichelte optische Achse dargestellt. Die beiden Brennpunkte sind durch zwei Strahler repräsentiert und gelten für alle gezeichneten Reflektoren. Eine Kugel ist die Sonderform des Ellipsoiden wenn die beiden Brennpunkte zusammenfallen. Der Paraboloid entsteht aus dem Hyperboloid, wenn einer der beiden Brennpunkte unendlich weit entfernt wird.

Figure: Rotationskörper der Kegelschnitte für zwei feststehende Brennpunkte

Der ebene Spiegel teilt den Raum zwischen den beiden Brennpunkten und ist in dieser Systematik eine Sonderform des Hyperboloiden, wenn sein Scheitelpunkt die Strecke zwischen den Brennpunkten teilt. Die Abbildungseigenschaft der Ebene gilt nicht nur für die zwei Brennpunkte, sondern für den gesamten Halbraum und somit auch für ausgedehnte Strahlenquellen.

Ist die Strahlenquelle sehr klein gegenüber den Reflektorabmessungen, bleibt die charakteristische Reflektorfunktion im wesentlichen erhalten. Sie wird dann mit einem Abbildungsmaßstab vergrößert oder verkleinert abgebildet. Der Abbildungsmaßstab beschreibt die Größenänderung des Strahlerabbilds bezogen auf den eingesetzten Strahler^1.3. Reflektoren vergrößern meistens die Strahlenquelle, was mit einer starken Vorwärtsbündelung einhergeht. Geometrisch ist der Abbildungsmaßstab das Verhältnis der Abstände von Strahlenquelle und deren Spiegelbild zur reflektierenden Fläche. Die Strahldichte der Strahlerbilder ist nur um den Reflexionsgrad des Reflektormaterials verringert.

Eine weitere wichtige Reflektorkontur ist die einer sogenannten Abrollkurve (Zykloide). Sie folgt einem Punkt eines Kreises, der auf einer Geraden, ohne zu gleiten, abrollt und hat die allgemeine Form $x = a \; \arccos\left( \frac{a - y}{a} \right) - \sqrt[]{y \left( 2a - y \right)}$ wobei $x$ und $y$ die Kurvenebene aufspannen und $a > 0$ der Radius des abrollenden Kreises ist. Rotationskörper von Abrollkurven haben die Eigenschaft, Strahlen aus dem Innern einer Kugel so umzulenken, da sie ihren Quellbereich nicht schneiden. Sie bewirken keine optische Abbildung und sind von vorneherein auf ausgedehnte Strahlungsquellen zugeschnitten.

Die Eigenschaften dieser sehr speziellen Reflektorkonturen helfen bei der Reflektorentwicklung, weil ihre charakteristischen Eigenschaften wichtige Orientierungspunkte für den Entwurf von frei gewählten Reflektoroberflächen^1.4 geben. Ich will sie kurz vorstellen. Anschließend komme ich zu einem Entwicklungskonzept, welches die meisten Vorteile beibehält, viele Nachteile beseitigt und leicht in Musterbau und Fertigung umzusetzen ist.