Additionsverfahren

Wie der Name schon im Ansatz verrät, werden mit Hilfe des Additionsverfahren Gleichungen addiert. Dies geschieht in der Regel so, dass eine oder gleich mehrere Variablen in den Gleichungen eliminiert werden:

$$\begin{matrix} (1) & 5x & + & 3y & = & 5\\ (2) & 3x & + & y & = & -1 \end{matrix}$$

Dazu muss eine der beiden Gleichungen so umgeformt werden, dass bei einer Addition der beiden Gleichungen eine Variable verschwindet. In diesem Beispiel multiplizieren wir dazu Gleichung (2) auf beiden Seiten mit $\,-3$.

$$\,(2) \quad 3x + y = -1 \vert \cdot (-3)$$

Dadurch erhalten wir ein gleichwertiges Gleichungssystem, in dem der Term $\,-3y$ vorkommt:

$$\begin{matrix} (1) & 5x & + & 3y & = & 5 \\ (2') & -9x & - & 3y & = & 3 \end{matrix}$$

Nun werden beide Gleichungen des Systems addiert und somit in einer Gleichung zusammengefasst:

$$\begin{matrix} (5x + 3y) & + & (-9x - 3y) & = & 5 + 3 \\ 5x -... ...3y - 3y & = & 8 \\ - 4x & + & 0y & = & 8 \\ -4x & & & = & 8 \end{matrix}$$

Anschließend wird nach der verbliebenen Variablen $\,x$ aufgelöst:

$$\begin{matrix} -4x & = & 8 & \vert \div (-4) \\ x & = & -2& \end{matrix}$$

$$\begin{matrix} 5 \cdot (-2) & + & 3y & = & 5 \\ -10 & + & 3y &... ...+ & 10 \\ & & 3y & = & 15 &\vert& \div & 3 \\ & & y & = & 5 \end{matrix}$$

Dadurch erhalten wir die Lösungsmenge: $\,\mathbb{L} = \{(-2\,\vert\,5)\}$. Damit ist der Wert der ersten Variable bekannt. Diesen Wert ( $\,x = -2$) setzen wir in Gleichung (1) ein, um den Wert der zweiten Variable zu berechnen: