Einsetzungsverfahren

Die Idee hinter dem Einsetzungsverfahren ist folgende: Man löst eine der Gleichungen nach einer Variablen auf und setzt diese Variable dann in die anderen Gleichungen ein. Dadurch wird eine Variable eliminiert.

Bei einem Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Variablen geht man so vor:

1. Auflösung einer Gleichung nach einer Variablen
2. Einsetzen dieser Variablen in die anderen Gleichung
3. Auflösen der im Schritt 2 erhaltenen Gleichung nach der enthaltenen Variablen
4. Einsetzen der Lösung in die nach Schritt 1 umgeformten Gleichung

Gegeben ist folgendes Gleichungssystem:

$$\begin{matrix} (1) & 12x & - & 5y & = & 29\\ (2) & 18x & + & 2y & = & 34 \end{matrix}$$

Schritt 1:

Eine der beiden Gleichungen muss nach $x$ oder $y$ aufgelöst werden. In diesem Beispiel wird die 2. Gleichung nach $y$ aufgelöst.

$$\begin{matrix} (2) & 18x & + & 2y & = & 34 & \vert&-18x \\ (2) & & & 2y & = & 34 - 18x & \vert&:2 \\ (2) & & & y & = & 17 - 9x \end{matrix}$$

Schritt 2:

Danach können wir in der ersten Gleichung das $y$ durch den Term $(17 - 9x)$ ersetzen und bekommen dann:

$$\begin{matrix} (2 \text{ in } 1) & 12x & - & 5 \cdot (17 - 9x) & = & 29 \end{matrix}$$

Schritt 3:

Diese Gleichung können wir nun nach $x$ auflösen.

$$\begin{matrix} 12x - 5 \cdot (17 - 9x) & = & 29 & \vert&\mathrm{... ...= & 29 & \vert&+85 \\ 57x & = & 114 & \vert&:57 \\ x & = & 2 \end{matrix}$$

Schritt 4:

Die Lösung $x = 2$ wird in die umgestellte Gleichung (2) eingesetzt:

$$\begin{matrix} x = 2 \text{ in (2) einsetzen:} & y & = & 17 - 9 \cdot 2\\ & y & = & -1 \end{matrix}$$

Die Lösungsmenge ist somit: $\mathbb{L}=\{(21)\}$