Gleichungen n-ten Grades

$\displaystyle \,P_n(x) = \sum_{i=0}^n a_ix^i = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + a_{n-2}x^{n-2} + \dots + a_2x^2 + a_1x^1 + a_0 = 0$

Lösungen (Nullstellen)

$\displaystyle \,x_1; x_2; x_3; \dots; x_n$

Zerlegung in Linearfaktoren

$\displaystyle \,P_n(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + a_{n-2}x^{n-2} + \dots + a_2x^2 + a_1x^1 + a_0 = a_n(x-x_1)(x-x_2)\cdot \dots \cdot(x - x_n) = 0$

Lösungsverfahren Ist $\,x_1$ eine durch Probieren gefundene Nullstelle, so kann $\,P_n(x)$ mittels Polynomdivision ohne Rest durch $\,(x-x_1)$ dividiert werden. Man erhält dadurch eine Gleichung (ein Polynom) ( $\,n-1$ )-ten Grades und es gilt: $\,P_n(x)=(x-x_1) \cdot P_{n-1}(x)$ .

Fundamentalsatz der Algebra: Sei n der Grad (also die höchste vorkommende Potenz der Lösungsvariablen x) der Gleichung. Werden mehrfache Nullstellen entsprechend ihrer Vielfachheit gezählt, hat die Gleichung n (komplexe) Nullstellen.