Quadratische Gleichungen

Quadratische Funktion Allgemeine Form:

$\displaystyle \,f(x) = a x^2 + b x + c$ mit $\displaystyle \qquad a \ne 0$

und

$\displaystyle D_F = \mathbb{R}$

Zielmenge Wertebereich

$\displaystyle \,W_f = \left[\frac{4ac-b^2}{4a};+\infty\right] \qquad \mathrm{f\ddot ur}\quad a>0$

$\displaystyle \,W_f = \left[-\infty;\frac{4ac-b^2}{4a}\right] \qquad \mathrm{f\ddot ur}\quad a<0$

Nullstellen

$\displaystyle \,x_{1,2}$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a}$
$\displaystyle \,b^2 - 4ac$	$\displaystyle >$	$\displaystyle 0 \rightarrow$ zwei verschiedene Nullstellen
$\displaystyle \,b^2 - 4ac$	$\displaystyle =$	$\displaystyle 0 \rightarrow$ genau eine (Doppel-)Nullstelle
$\displaystyle \,b^2 - 4ac$	$\displaystyle <$	$\displaystyle 0 \rightarrow$ keine reelle Nullstelle

Scheitelpunkt Scheitelpunkte

$\displaystyle S\left(-\frac{p}{2}; -\frac{p^2}{4} + q\right)$

Normalform

$\displaystyle f(x) = x^2 + p x + q = 0$ mit $\displaystyle \left( p, q = \mathrm{const.} \right)$

Lösungen

$\displaystyle x_{1,2}$	$\displaystyle =$	$\displaystyle -\frac{p}{2} \pm \sqrt{{ \left( \frac{p}{2} \right) ^2} - q} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\frac{p^2}{4} - q}$
$\displaystyle \left( \frac{p}{2} \right) ^2 - q$	$\displaystyle >$	$\displaystyle 0 \rightarrow$ zwei verschiedene Nullstellen
$\displaystyle \left( \frac{p}{2} \right) ^2 - q$	$\displaystyle =$	$\displaystyle 0 \rightarrow$ genau eine (Doppel-)Nullstelle
$\displaystyle \left( \frac{p}{2} \right) ^2 - q$	$\displaystyle <$	$\displaystyle 0 \rightarrow$ keine reelle Nullstelle

Zerlegung in Linearfaktoren

$\displaystyle x^2 + px + q = (x - x_1) \cdot (x - x_2) = 0$

Satz von Vieta

$\displaystyle p = -(x_1 + x_2) \qquad q = x_1 \cdot x_2$