Höhen

Die Längen der von $A$, $B$ bzw. $C$ ausgehenden Höhen des Dreiecks $ABC$ werden mit $h_{a}$ , $h_{b}$ und $h_{c}$ bezeichnet.

$$h_{a}=b\sin \gamma =c\sin \beta =\frac{2F}{a}=2r\sin \beta \sin \gamma$$

$$h_{b}=c\sin \alpha =a\sin \gamma =\frac{2F}{b}=2r\sin \gamma \sin \alpha$$

$$h_{c}=a\sin \beta =b\sin \alpha =\frac{2F}{c}=2r\sin \alpha \sin \beta$$

$$h_{a}=\frac{a}{\cot \beta +\cot \gamma };\;\;\;\;\;h_{b}=\frac{b}{\cot\gamma +\cot \alpha };\;\;\;\;\;h_{c}=\frac{c}{\cot \alpha +\cot \beta }$$

$$F=\frac{1}{2}ah_{a}=\frac{1}{2}bh_{b}=\frac{1}{2}ch_{c}$$

$$\frac{1}{h_{a}}+\frac{1}{h_{b}}+\frac{1}{h_{c}}=\frac{1}{\rho }=\frac{1}{\rho _{a}}+\frac{1}{\rho _{b}}+\frac{1}{\rho _{c}}$$

Hat das Dreieck $ABC$ einen rechten Winkel bei $C$ (ist also $? = 90^\circ$), dann gilt

$$h_{c} = \frac{a b}{c}$$

$$h_{a} = b \,$$

$$h_{b} = a \,$$