Rechnen mit Strahlungsspektren

Die einfachste Rechnung spektral aufgeteilter Größen ist, die Aufteilung wieder zusammenzufassen. Das wäre dann ein einfaches Integral. Ist $E_{\lambda}$ beispielsweise das blaue Strahlungsspektrum in der Einheit einer Bestrahlungsstärke aus Abbildung , dann erhalten wir mit

$$\int_{250 \text{nm}}^{650 \text{nm}} E_{\lambda} \quad d \lambda$$

die Gesamtbestrahlungsstärke aus dem Bereich zwischen 250 nm und 650 nm und repräsentiert die Fläche unter der Funktion im genannten Bereich.

Es gibt weitere Gründe zur Umrechnung von Spektren. Einer ist die Ermittlung von spektral abhängigen Auswirkungen der Strahlung. In Abbildung ist eine Linie $S_{\text{er} , \lambda}$ (rot) eingezeichnet, die anzeigt wie stark sich Wellenlängenbereiche eines Spektrums auf die Entstehung von Sonnenbrand auswirken. Sie ist im kurzwelligen Bereich konstant 1 und fällt ab 298 nm stark ab. Das bedeutet dass langwellige UV Strahlung sehr viel weniger wirksam ist als kurzwellige. Zur Bewertung des Spektrums muss man hier wieder Wert für Wert den gemessenen Spektralwert $E_{\lambda}$ (blau) mit dem Wert der Wirkungsfunktion S $_{\text{er}}$ (rot) gleicher Wellenlänge multiplizieren und erhält als Resultat hier in Abbildung die Kurve E $_{\text{er}}$ (rot gefüllt) . Das Integral dieser Kurve ist ein Maß für die entsprechende Wirkung. Es gibt eine ganze Reihe von spektral sehr unterschiedlichen biologischen Wirkungen von der Photosnthese bis zur Vitamin D Bildung bei Bestrahlung menschlicher Haut. Die entsprechenden Wirkungsfunktionen wurden basierend auf Testreihen in Normen festgeschrieben und liegen meist in tabellierter Form vor.

Mit diesen Wirkungsfunktionen müssen die Strahlungswerte Wellenlänge für Wellenlänge bewertet werden, indem man sie im Innern des Integrals multipliziert. Hier im Beispiel

$$\int_{250 \text{nm}}^{650 \text{nm}} E_{\lambda} \cdot S_{\text{er} , \lambda} \quad d \lambda$$

Das Ergebnis ist die erythemwirksame Bestrahlungsstärke des Strahlungsspektrums im genannten Bereich.

Kämen mehrere verschiedene Strahlenquellen mit zum Beispiel den spektralen Bestrahlungsstärken $E_{\text{I} ,\lambda}$ und $E_{\text{II} ,\lambda}$ zum Einsatz, wäre die gesamte erythemwirksame Bestrahlungsstärke entsprechend

$$\int_{250 \text{nm}}^{650 \text{nm}} ( E_{\text{I} ,\lambda} + E_{\text{II} ,\lambda} ) \cdot S_{\text{er} , \lambda} \quad d \lambda$$

Spektral selektiv sind üblicherweise auch optische Filter, deren Effekt sich aus deren spektraler Transmission $\tau_{\lambda}$ einrechnen lässt. Würde nun nur $E_{\text{I} ,\lambda}$ mit $\tau_{\text{I} ,\lambda}$ gefiltert, ergäbe sich

$$\int_{250 \text{nm}}^{650 \text{nm}} ( E_{\text{I} ,\lambda} \cdo... ...ambda} + E_{\text{II} ,\lambda} ) \cdot S_{\text{er} , \lambda} \quad d \lambda$$

und wenn das jetzt noch einen weiteren Filter $\tau_{\lambda}$ durchlaufen würde

$$\int_{250 \text{nm}}^{650 \text{nm}} ( E_{\text{I} ,\lambda} \cdo... ... ,\lambda} ) \cdot \tau_{\lambda} \cdot S_{\text{er} , \lambda} \quad d \lambda$$

Ebenso lassen sich spektrale Reflexionsgrade $\rho_{\lambda}$ einrechnen. Fließt beispielsweise die Strahlungsquelle mit $E_{\text{II} ,\lambda}$ reflektiert mittels $\rho_{\text{II} ,\lambda}$ ein, die andere jedoch nicht und werden beide mit einem Filter $\rho_{\lambda}$ beaufschlagt, dann ergibt sich für die vorhergehende Ausgangslage

$$\int_{250 \text{nm}}^{650 \text{nm}} ( E_{\text{I} ,\lambda} \cdo... ...ho_{\lambda} \cdot \tau_{\lambda} \cdot S_{\text{er} , \lambda} \quad d \lambda$$

Mit der Methode spektral in gleicher Weise aufgeteilte Werte vor der Integralbildung zu addieren und zu multiplizieren können die meisten physiklaischen Systeme durchgerechnet werden. Doch es ergeben sich auch Fragestellungen, die darüber hinaus gehen.

Hat man zwei Wirkungsfunktionen, eine mit positiver Wirkung und eine mit zu vermeidender Wirkung, dann könnte man einen Spektralbereich suchen mit maximaler positiver und minimaler negativer Wirkung. So ein Fall liegt beispielsweise bei der Wirkung für die positive VitaminD-Bildung $S_{\text{VD},\lambda}$ und der zu vermeidenden Erythembildung $S_{\text{er} , \lambda}$ vor. Man muss also zwei Spektren ins Verhältnis setzen, und zwar Wellenlänge für Wellenlänge. Das geht natürlich nur in dem Wellenlängenbereich, in dem beide Spektren Werte aufweisen und der Nenner des sich ergebenden Bruchs nicht den Wert Null einnimmt. Durchführen lässt sich die Berechnung durch Division der einzelnen Spektralwerte oder durch Multiplikation mit den Kehrwerten des Spektrums im Nenner.

$$S_{\text{Verhältnis},\lambda} = \frac{S_{\text{VD},\lambda}}{S_{\text{er},\lambda}} = S_{\text{VD},\lambda} \cdot \frac{1}{S_{\text{er},\lambda}}$$

Eine Integralbildung ist hierbei nicht nötig, wenn nur das Maximum des resultierenden Spektrums $S_{\text{Verhältnis},\lambda}$ gesucht ist. In diesem speziellen Falle ergibt sich eine optimale Ausbeute an VitaminD-Bildung bei minimalem Sonnenbrandrisiko beu ungefähr 309 nm.

Zusammenfassend kann man also sagen, dass die Addition, Multiplikation, Kehrwertbildung und Integration benötigt werden, um mit Spektren zu rechnen.