Behandlung von Stützstellen

Ein Problem bei der Umsetzung ist, dass die Spektren oft nicht als Funktionen, sondern nur in Form von einer endlichen Zahl von Stützstellen vorliegen. Im Prinzip weiß man nicht welche Werte zwischen den Stützstellen anznehmen wären. Es könnte alles Mögliche sein. Es ist vernünftig zu interpolieren. Dazu gibt es auch komplizierte Verfahren, die in Spezialfällen gemessene Peaks in Spektren besser abbilden. Lineare Interpolation mit einer geraden Verbindung zwischen zwei Stützstellen scheint als einfaches und nachvollziehbares Verfahren für allgemeine Fälle am geeignetsten zu sein und wird auch im Folgenden angewendet.

Stützstellen des einen Spektrums können Zwischenwerte eines anderen Spektrums sein oder sogar ganz außerhalb dessen Spektralbereichs liegen. In Abbildung sind drei Spektren i, j und k mit ihren Stützstellen dargestellt. Die interpolierten Werte auf an den Stellen der Stützstellen des jeweils anderen Spektrums sind als schwarze Punkte markiert.

Figure: Lineare Interpolation

Der Spektralbereich des roten Spektrums liegt in diesem Fall innerhalb des Spektralbereichs vom blauen Spektrum. Das Blaue und das GRüne ragen über das Rote hinaus. Die Frage ist nun, welchen Spektralbereich ein aus den Spektren abgeleitetes Spektrum hat.

Den Fall der Multiplikation und der Kehrwertbildung kann man als Bewertung oder Verknüpfung des einen Spektrums mit dem anderen Spektrum auffassen. Ein Spektrum ist der Maßstab des Anderen. In einem Spektralbereich außerhalb eines von von allen Spektren kann keine Bewertung stattfinden, weil dort kein Maßstab vorgegeben ist. Der resultierende Spektralbereich ist die Schnittmenge der Ausgangspektralbereiche und bildet ein einziges zusammenhängendes Spektrum. In Abbildung ist das resultierende Spektrum in seinen möglichen Grenzen grau dargestellt.

Figure: Verknüpfung von zwei Spektren

Den Fall der Addition kann man als Überlagerung oder Superposition aller Spektren auffassen. Da hier der Maßstab unabhängig von den Spektren ist kann man als resultierenden Spektralbereich die Vereinigung der Ausgangspektralbereiche zu nehmen. In Abbildung ist die Superposition von vier Spektren in seinen möglichen Grenzen wieder grau dargestellt.

Figure: Superposition von drei Spektren in 4 separate Spektren

Ein zu lösendes Problem liegt im Übergangspunkt der überlagerten Ausgangsspektren, wo man nicht mehr einfach interpolieren kann. An der Anfangsstelle i des roten Spektrums müsste das Ergebnisspektrum springen. Bis zu diesm Punkt wäre das Ergebnis der interpolierte Wert des blauen Spektrums an dieser Stelle. Ab dieser Stelle wäre es die Superposition. Ein solcher Verlauf wäre nicht mehr stetig und auch keine Funktion mehr. Trennt man an solchen Stellen den Verlauf in Einzelspektren, ist das Problem gelöst. Das Ergebnis ist dann eine Anzahl von Spektren, die selbst funktional und stetig sind. Sie schließen aufeinander an oder lassen Lücken, wie die Superposition des orangefarbenen Spektrums ab Position l zeigt.

Der Integralwert des Gesamtergebnisses ist die Summe der Integralwerte der Einzelspektren. Sind sie aufsteigend nach den Abzszissen sortiert und haben beispielsweise $n$ Stützstellen, dann ist ihr Beitrag

$$\sum_{i=0}^{n-1} \frac{1}{2} \cdot (y_{(i+1)} + y_{i}) \cdot (x_{... ... \frac{1}{2} \cdot \sum_{i=0}^{n-1} (y_{(i+1)} + y_{i}) \cdot (x_{i+1} - x_{i})$$ (2)

Als messtechnisches Ergebnis kann als Stützstelle auch der Wert Null und sogar ein negativer Wert vorkommen. Solche Werte sind als Einfluß von Streustrahlung oder Systemrauschen zu bewerten. Mit diesen Problemen muss umgegangen sein, indem man sinnvoll interpoliert und unsinnige Werte gegebenfalls ausschließt.