Invarianz von L bei optischen Abbildungen (Linsen)

In Abbildung 1.13 ist die optische Abbildung einer Strahlenquelle dargestellt. Der Abbildungsmaßstab einer optischen Abbildung ist das Verhältnis von Bildweite $b$ zu Gegenstandsweite $a$ und gilt ganz allgemein für Abbildungen durch Linsen oder Spiegel. Für Flächen gilt aufgrund der Gleichheit von $\Omega$ für die Bild und Gegenstandsseite von Abbildung 1.13 der quadratische Abbildungsmaßstab $S_{Q}/S_{E}= a^2 / b^2$. Verlustfreie Übertragung vorausgesetzt ist $\Phi_{Q}=\Phi_{E}$ und

$$\Phi = L S_{Q} \Omega_{E} = L S_{E} \frac{a^2}{b^2} \frac{A}{a^2} = L S_{E} \Omega_{Q}$$

Das Produkt aus Fläche und Raumwinkel auf beiden Seiten der dargestellten Linse ist geometrisch konstant. Das bedeutet, dass die Strahldichte $L$ durch solche Abbildungen nicht verändert wird. Die Bestrahlungsstärke ist:

$$E = \frac{\Phi}{S_{E}} = \frac{ L S_{Q} \Omega_{E}}{ S_{E}} = L \frac{S_{E} \frac{a^2}{b^2} \frac{A}{a^2}}{S_{E}} =L \frac{A}{b^2} = L \Omega_{Q}$$

Figure 1.13: Bedeutung der Strahldichte

D.h. die Bestrahlungsstärke $E$ in der Bildebene ist unabhängig vom Abstand $a$ des Objekts und wird bestimmt vom (konstanten) Abstand $b$ zwischen Linse und Bildebene, von der Linsenfläche $A$ und von $L$. Durch den funktionell gleichen Aufbau des menschlichen Auges ist die Strahldichte $L$ die visuell wahrgenommene Größe.

Zur Beschreibung von Verlusten Ziehen wir den Transmissionsgrad

$$\tau = \frac{\Phi_{\text{transmittiert}}}{\Phi_{\text{einfallend}}}$$

heran.

Füllt das Bild der Strahlenquelle die Linsenfläche aus, dann wird zur Berechnung der Bestrahlungsstärke über die Linsenfläche und nicht mehr über die Strahlerfläche integriert, wie in Abbildung 1.13 dargestellt. Damit ist der sichtbare Raumwinkel der vergrößerten Strahlenquelle erfasst, die Strahldichte bleibt erhalten.

Faßt man die Linsenfläche als bestrahlte Fläche $S_{E}$ auf, so kann diese Fläche im allgemeinen als vollwertige Strahlenquelle aufgefaßt werden. Im Beispiel aus Abbildung 1.13 sind die Eigenschaften dieser sekundären Strahlenquelle durch die geometrischen Verhältnisse von Strahlenquelle und Linse bestimmt.