Einarbeitung der Aperturen

Die Apertur $\vartheta_{\mathrm{Apertur}}$ begrenzt die effektive Nutzung der Bestrahlungsstärke im Bildpunkt indem wir sie mit dem maximal erreichbaren $\vartheta_{b}$ gleichsetzen oder die effektive Nutzung der Strahlenquelle indem wir sie mit dem maximal erreichbaren $\vartheta_{g}$ gleichsetzen.

Im dargestellten Fall ist $\vartheta_{b,\mathrm{Apertur}} < \vartheta_{g,\mathrm{Apertur}}$ und damit bleibt der orange gezeichnete Anteil des vom Strahler abgegebenen Strahlungsflusses ungenutzt. Er trägt zur Bestrahlungsstärke am Eingang des Lichtleiters bei. Dieser Anteil wird aber nicht weitergeleitet, weil der Grenzwinkel für die innere Totalreflexion überschritten wird. Wirksam ist somit nur der kleinere, innere, Bereich des Raumwinkels, der auf der Bildseite mit $\vartheta_{b,\mathrm{Apertur}}$ bezeichnet ist. Über die Beziehungen $m=g/b$ errechnet sich aus den Beziehungen $b = \cos \vartheta_{b,\mathrm{Apertur}}$ und $g = \cos \vartheta_{g,\mathrm{Apertur}}$

$$\vartheta_{g,\mathrm{Apertur}_{b}}= \arccos \left( m \cos \vartheta_{b,\mathrm{Apertur}} \right)$$

und

$$\vartheta_{b,\mathrm{Apertur}_{g}}= \arccos \left( \frac{1}{m} \cos \vartheta_{g,\mathrm{Apertur}} \right)$$

Wollen wir die Aperturen bezüglich des Strahlungsübergangs beurteilen, dann müssen wir das Raumwinkelprodukt umformulieren für zwei Fälle, den Fall dass die Eingangsapertur der beleuchteten Optik kleiner als die der Strahlenquelle ist, oder umgekehrt. Die Kleinere bestimmt Alles!

$$\Omega_{g} \Omega_{b} = \left\{ \begin{array}{lll} 4 \pi^2 (1... ...m{Apertur}} < \vartheta_{g,\mathrm{Apertur}} \end{array}\right.$$

Kann ein Empfänger dort beispielsweise Strahlung aus einem Kegel mit der Öffnung 26$^\circ$ nutzen, dann ist bei $\vartheta_{b} \geq 13^\circ$ Schluss mit dem Effizienzgewinn. Dieser Winkel entspricht hier einem Verhältnis $\frac{\varnothing}{2f} = \tan \vartheta_{b} = 0,23$. Den Wert können wir als Vorgabe nehmen und durch Umformung die passende Linsenbedingung ermitteln oder wenigstens den notwendigen Abbildungsmaßsstab ausrechnen:

$$\tan \vartheta_{b} = \frac{\varnothing}{2b} = \frac{\varnothing}{... ...ftrightarrow \qquad m = \frac{\varnothing}{2f} \frac{1}{\tan \vartheta_{b}} -1$$

Wir suchen jetzt in den Katalogen (Tabelle 1.6 auf Seite ) eine Linse mit

$$\frac{\varnothing_{\mathrm{Katalog}}}{2f_{\mathrm{Katalog}}} = (m... ... \vartheta_{\mathrm{Apertur}} \stackrel{!}{=} (1+1) \cdot 0,23 = \textbf{0,46}$$

.

Table 1.6: Plankonvexlinsen, ungefasst aus Quarzglas aus Katalog Firma Linos

Id-nr.	Ø	f'		s'248 nm		f'193 nm		f'248 nm		f'266 nm		f'308 nm		f'355 nm		f'546 nm		f'1064 nm
	(mm)	(mm)	Ø/2/f	(mm)	Ø/2/f	(mm)	Ø/2/f	(mm)	Ø/2/f	(mm)	Ø/2/f	(mm)	Ø/2/f	(mm)	Ø/2/f	(mm)	Ø/2/f	(mm)	Ø/2/f
G312255000	8,000	12,500	0,320	10,910	0,367	11,330	0,353	12,500	0,320	12,720	0,314	13,090	0,306	13,350	0,300	13,810	0,290	14,130	0,283
G312256000	10,000	15,000	0,333	12,830	0,390	13,380	0,374	14,750	0,339	15,010	0,333	15,440	0,324	15,750	0,317	16,300	0,307	16,670	0,300
G312257000	12,500	20,000	0,313	17,350	0,360	17,840	0,350	19,670	0,318	20,020	0,312	20,590	0,304	21,010	0,297	21,740	0,287	22,230	0,281
G312258000	12,500	25,000	0,250	22,780	0,274	22,460	0,278	24,770	0,252	25,200	0,248	25,920	0,241	26,440	0,236	27,360	0,228	27,990	0,223
G312259000	18,000	30,000	0,300	27,590	0,326	27,660	0,325	30,510	0,295	31,050	0,290	31,940	0,282	32,560	0,276	33,710	0,267	34,490	0,261
G312286000	22,400	40,000	0,280	35,380	0,317	35,080	0,319	38,690	0,289	39,370	0,284	40,500	0,277	41,310	0,271	42,750	0,262	43,730	0,256
G312300000	22,400	50,000	0,224	46,700	0,240	44,800	0,250	49,420	0,227	50,290	0,223	51,730	0,217	52,760	0,212	54,600	0,205	55,850	0,201
G312301000	22,400	60,000	0,187	57,130	0,196	54,020	0,207	59,580	0,188	60,630	0,185	62,370	0,180	63,620	0,176	65,830	0,170	67,340	0,166
G312302000	22,400	80,000	0,140	77,400	0,145	72,040	0,155	79,450	0,141	80,850	0,139	83,170	0,135	84,830	0,132	87,790	0,128	89,800	0,125
G312303000	22,400	100,000	0,112	97,450	0,115	90,040	0,124	99,310	0,113	101,060	0,111	103,950	0,108	106,030	0,106	109,770	0,102	112,250	0,100
G312304000	22,400	200,000	0,056	195,330	0,057	178,370	0,063	196,730	0,057	200,190	0,056	205,920	0,054	210,040	0,053	217,350	0,052	222,370	0,050
G312411000	31,500	40,000	0,394	33,650	0,468	36,230	0,435	39,950	0,394	40,660	0,387	41,830	0,377	42,670	0,369	44,160	0,357	45,180	0,349
G312412000	31,500	50,000	0,315	45,140	0,349	45,440	0,347	50,110	0,314	51,000	0,309	52,470	0,300	53,530	0,294	55,390	0,284	56,680	0,278
G312413000	31,500	60,000	0,263	55,750	0,283	54,410	0,289	60,000	0,263	61,060	0,258	62,820	0,251	64,090	0,246	66,310	0,238	67,850	0,232
G312414000	31,500	80,000	0,197	76,550	0,206	72,540	0,217	80,000	0,197	81,410	0,193	83,770	0,188	85,450	0,184	88,420	0,178	90,480	0,174
G312415000	31,500	100,000	0,158	96,990	0,162	90,660	0,174	99,970	0,158	101,750	0,155	104,690	0,150	106,790	0,147	110,510	0,143	113,070	0,139
G312305000	31,500	140,000	0,113	136,090	0,116	125,340	0,126	138,210	0,114	140,700	0,112	144,730	0,109	147,630	0,107	152,770	0,103	156,300	0,101
G312416000	31,500	200,000	0,079	198,030	0,080	181,570	0,087	200,220	0,079	203,770	0,077	209,660	0,075	213,880	0,074	221,310	0,071	226,450	0,070
G312417000	31,500	300,000	0,053	298,660	0,053	272,650	0,058	300,650	0,052	305,990	0,051	314,830	0,050	321,160	0,049	332,330	0,047	340,050	0,046
G312306000	31,500	400,000	0,039	390,960	0,040	355,810	0,044	392,350	0,040	399,310	0,039	410,860	0,038	419,120	0,038	433,690	0,036	443,770	0,035
G312253000	40,000	80,000	0,250	74,810	0,267	72,040	0,278	79,450	0,252	80,850	0,247	83,170	0,240	84,830	0,236	87,790	0,228	89,800	0,223
G312254000	40,000	140,000	0,143	135,090	0,148	125,370	0,160	138,270	0,145	140,710	0,142	144,740	0,138	147,630	0,135	152,770	0,131	156,290	0,128
G312242000	50,000	100,000	0,250	93,670	0,267	90,040	0,278	99,310	0,252	101,060	0,247	103,950	0,241	106,030	0,236	109,770	0,228	112,250	0,223
G312243000	50,000	150,000	0,167	144,540	0,173	134,720	0,186	148,590	0,168	151,200	0,165	155,540	0,161	158,650	0,158	164,170	0,152	167,950	0,149
G312244000	50,000	200,000	0,125	193,340	0,129	178,370	0,140	196,730	0,127	200,190	0,125	205,920	0,121	210,040	0,119	217,350	0,115	222,370	0,112
G312245000	50,000	250,000	0,100	244,740	0,102	224,550	0,111	247,660	0,101	252,020	0,099	259,240	0,096	264,420	0,095	273,630	0,091	279,950	0,089
G312246000	50,000	500,000	0,050	491,240	0,051	448,040	0,056	494,160	0,051	502,850	0,050	517,260	0,048	527,600	0,047	545,970	0,046	558,650	0,045
G312247000	50,000	1000,000	0,025	983,050	0,025	893,960	0,028	985,970	0,025	1003,320	0,025	1032,070	0,024	1052,710	0,024	1089,360	0,023	1114,930	0,022

Dort finden wir als Linsen mit mit dem höchsten Ergebnis $\frac{\varnothing}{f} = \frac{31,5}{40}$.und $\frac{\varnothing}{f} = \frac{10}{15}$. Jetzt überlegen wir, dass wir ja noch ein Stück der Linse opfern müssen, um sie zu haltern. Verzichten wir auf 2 mm des Durchmessers, dann weicht die bessere Linse mit $\frac{\varnothing_{\mathrm{Katalog}}}{2f_{\mathrm{Katalog}}} =\frac{31,5\mathrm{mm}-2\mathrm{mm}}{2 \cdot 40\mathrm{mm}} = 0,368$ noch ein gutes Stück von der Vorgabe ab. Um das zu kompensieren ergibt sich in der Gegenrechnung folgender Abildungsmaßstab

$$m = \frac{\varnothing_{\mathrm{Katalog}}}{2f_{\mathrm{Katalog}}} ... ...tan \vartheta_{\mathrm{Apertur}}} -1= \frac{29,5}{80} \frac{1}{0,23} -1 = 0,60$$

Das ist suboptimal, aber wir haben einfach keine günstigere Linse gefunden. Weitersuchen könnte einen etwa 10-15%-igen Gewinn bringen. Mit der gefundenen Linse würden wir folgendes System aufbauen:

$\varnothing$	=	29,5 mm
$f$	=	40 mm
$b=(m+1)f$	=	64 mm
$g=\frac{m+1}{m}f$	=	97,97 mm