Raumwinkel

Unter Verwendung von Gleichung 1.6 kann man den Raumwinkel berechnen über

$$\Omega = \int_{\Omega} d \Omega = \int_{S} \frac{\cos (\vartheta )}{r^2} d S$$ (1.10)

Den Raumwinkel von rechteckigen Flächen kann man mit folgendem Integral gemäß den Bezeichnungen aus Abbildung 1.6 berechnen. Der Einheitsvektor $\vec{e}_{z}$ ist dabei senkrecht zur rechteckigen Fläche zu wählen. Wegen $r \;\cos \vartheta = h$ kann man $\cos \vartheta = h / r$ setzen und der Radius $r$ wird $\sqrt[]{x^2 + y^2 + h^2}$.

Figure 1.6: Raumwinkel

$$\Omega = \int_{x_{1}}^{x_{2}} \int_{y_{1}}^{y_{2}} \; \frac{h}{{\... ... h \, \sqrt[]{x^2 + y^2 + h^2}} \right) \right]_{x_{1} , y_{1}}^{x_{2} , y_{2}}$$ (1.11)

Über folgendes Integral in Kugelkoordinaten errechnet man rotationssymmetrische Raumwinkel.

$$\Omega = \int_{0}^{2 \pi} \int_{\vartheta_{Q}}^{\vartheta_{E}} \s... ...ta d \varphi = 2 \pi \left[ \cos (\vartheta_{Q}) - \cos (\vartheta_{E}) \right]$$ (1.12)

In Abbildung 1.6 ist ein Dreieck zwischen den Vektoren $\vec{A}$,$\vec{B}$ und $\vec{C}$ dargestellt. Über den Winkel zwischen diesen Vektoren

$$\cos ( \vec{A} , \vec{B} ) = \frac{\vec{A} \vec{B}}{\left\vert \v... ... ( \vec{A} , \vec{B} ) = \sqrt[]{1-\left( \cos ( \vec{A} , \vec{B} ) \right)^2}$$ (1.13)

lassen sich die Winkel des auf die Einheitskugel projizierten Dreiecks $\alpha$,$\beta$ und $\gamma$ durch folgende Gleichung mit zyklischer Vertauschung von $\vec{A}$,$\vec{B}$ und $\vec{C}$ berechnen.

$$\sphericalangle ( \vec{A} , \vec{B} , \vec{C} ) = \frac{\cos ( \v... ...( \vec{B} , \vec{C} ) }{ \sin ( \vec{A} , \vec{B} )\sin ( \vec{B} , \vec{C} ) }$$ (1.14)

Der gesuchte Raumwinkel ist die gekrümmte Fläche des auf die Einheitskugel projizierten Dreiecks.

$$\Omega ( \vec{A} , \vec{B} , \vec{C} ) = \alpha + \beta + \gamma ... ...} , \vec{C} , \vec{A} ) + \sphericalangle ( \vec{C} , \vec{A} , \vec{B} ) - \pi$$ (1.15)

Mit dieser Methode lassen sich stückweise Raumwinkel von Flächen berechnen, die sich in Dreiecke zerlegen lassen.