Bestrahlungsstärke

Berechnungen der Bestrahlungsstärke gehen aus von Gleichung 1.7

$$d^{2}\Phi = L \quad \frac{\cos \vartheta_{Q} \; \cos \vartheta_{E} \; dS_{Q} \;dS_{E} }{ r^{2} }$$ (1.21)

mit Integration über die Strahlerfläche $S_{Q}$

$$E = \int_{S_{Q}} L \quad \frac{\cos \vartheta_{Q} \; \cos \vartheta_{E}}{ r^{2} } \quad dS_{Q}$$ (1.22)

und wenn es günstiger ist, über den Raumwinkel zu integrieren, kann man mit Anwendung von Gleichung 1.6 umgestellt auf die Sicht vom Emfänger auf die Strahlenquelle

$$d\Omega_{Q} = \frac{dS_{Q} \cos \vartheta_{Q}}{r^{2}}$$ (1.23)

die Beziehung ersetzen mit

$$E = \int_{\Omega_{Q}} L \quad \cos \vartheta_{E} \quad d\Omega_{Q}$$ (1.24)

Jetzt müssen noch die Abhängigkeiten von $L$ von den Integrationsvariablen aufgelöst werden, denn nur den davon unabhängigen Teil $L_0$ können wir vor das Integral ziehen. Für einen Lambertstahler ist $L$ bereits unabhängig

$$L_{L}=L_0$$

und für den Sonderfall bei dem die Strahlstärke konstant ist, wäre

$$L_{I}=\frac{L_{0}}{\cos \vartheta_{Q}}$$

Für die Bestrahlungsstärken ergibt sich dann folgender Ansatz, wobei die tiefgestellten Indizes $_L$ und $_I$ die Fälle Lambertstrahler und konstante Strahlstärke kennzeichnen:

$$E_L = L_0 \int_{S_{Q}} \quad \frac{\cos \vartheta_{Q} \; \cos \vartheta_{E}}{ r^{2} } \quad dS_{Q}$$ (1.25)

$$= L_0 \int_{\Omega_{Q}} \quad \cos \vartheta_{E} \quad d\Omega_{Q}$$ (1.26)

und

$$E_I = L_0 \int_{S_{Q}} \quad \frac{\cos \vartheta_{E}}{ r^{2} } \quad dS_{Q}$$ (1.27)

$$= L_0 \int_{\Omega_{Q}} \quad \frac{\cos \vartheta_{E}}{\cos \vartheta_{Q}} \quad d\Omega_{Q}$$ (1.28)

Damit wird die Rechnung axial zu einer ringförmigen Strahlungsaustrittsfläche mit konstanter Strahlstärke einfach, wenn abweichend zur allgemeinen Abbildung 1.10 die Empfängerfläche $dS_{E}$ parallel zur Strahlungsaustrittsfläche liegt. In diesem Sonderfall sind die Winkel $\vartheta_{E}$ und $\vartheta_{Q}$ identisch und das Verhältnis $\frac{\cos \vartheta_{E}}{\cos \vartheta_{Q}}$ beträgt immer 1.

Figure: Ringförmige Strahlungsaustrittsfläche

Für einen Strahler mit konstanter Strahlstärke und Gleichheit von $\vartheta_{E}$ und $\vartheta_{Q}$ erhält man

$$E_{I} = L_0 \int_{\Omega} d\Omega$$ (1.29)

$$= L_0 \; \int_{0}^{2\pi} \int_{\vartheta_{1}}^{\vartheta_{2}} \; \sin \vartheta\; d\vartheta d\varphi$$

$$= 2\pi \; L_0 \; \int_{\vartheta_{1}}^{\vartheta_{2}} \; \sin \vart... ... 2\pi \; L_0 \; \left[ - \cos \vartheta \right]_{\vartheta_{1}}^{\vartheta_{2}}$$

$$= 2\pi \; L_0 \; \left( \cos \vartheta_{1} -\cos \vartheta_{2} \right)$$ (1.30)

und analog für einen Lambertstrahler entsprechend

$$E_{L} = L_0 \int_{\Omega}\; \cos \vartheta_{E} \; d\Omega \quad = \quad L_0 \int_{\Omega}\; \cos \vartheta_{Q} \; d\Omega$$ (1.31)

$$= L_0 \; \int_{0}^{2\pi} \int_{\vartheta_{1}}^{\vartheta_{2}} \; \cos \vartheta \; \sin \vartheta\; d\vartheta d\varphi$$

$$= 2\pi \; L_0 \; \int_{\vartheta_{1}}^{\vartheta_{2}} \; \cos \vart... ...; \left[ \frac{1}{2} \sin^{2} \vartheta \right]_{\vartheta_{1}}^{\vartheta_{2}}$$

$$= \pi \; L_0 \; \left( \sin^{2} \vartheta_{2} -\sin^{2} \vartheta_{1} \right)$$ (1.32)

Das Ergebnis kann angewendet werden zur Berechnung der Bestrahlungstärke zentral vor kreis- oder ringförmigen Strahlern konstanter Strahldichte. Es kann dann auch umgekehrt bei bekannter Bestrahlungsstärke auf die mittlere Strahldichte geschlossen werden. Aus der Achse seitlich versetzte Bestrahlungsstärken lassen sich mit diesem Ansatz nicht berechnen.

Für die Berechnung der Bestrahlungsstärke unter einer rechteckigen Strahlungsaustrittsfläche mit konstanter Strahldichte ist die Umgebung in Abbildung 1.11 dargestellt.

Figure: Rechteckförmige Strahlungsaustrittsfläche

Das Integral über die Strahlerfläche wird jetzt zu einem Doppelintegral in $x$ und $y$ - Richtung. Wegen $r \;\cos \vartheta_{Q} = h$ kann man $\cos \vartheta_{Q} = h / r$ setzen und der Abstand $r$ wird jetzt als $\sqrt[]{x^2 + y^2 + h^2}$ ausgedrückt. Die um $\vartheta_{E}$ geneigte Empängerfläche macht deutlich, dass sie nicht die gesamte Strahlung der Austrittsfläche empfängt, denn die beiden Ebenen schneiden sich an der Stelle $x$. Die Strahlerfläche jenseits dieses Punktes, also der Bereich $x$ bis $x_2$, liegt bereits hinter der Empängerfläche! Sauber rechnen kann man auch hier nur wieder mit parallelen Strahler- und Empfängerflächen.

$$E_I = L_0 \int_{S_{Q}} \quad \frac{\cos \vartheta_{E}}{ r^{2} } \quad dS_{Q}$$

$$= L_0 \int_{x_{1}}^{x_{2}} \int_{y_{1}}^{y_{2}} \frac{h}{{\sqrt[]{x^2 + y^2 + h^2}}^3} \; dx \; dy$$

$$= L_0 \; \left[ \arctan \left( \frac{x \; y}{h \; \sqrt[]{x^2 + y^2 + h^2}} \right) \right]_{x_{1},y_{1}}^{x_{2},y_{2}}$$

$$= L_0 \left\{ \arctan \left( \frac{x_{2} \; y_{2}}{h \; \sqrt[]{x_{... ...{x_{1} \; y_{2}}{h \; \sqrt[]{x_{1}^2 +y_{2}^2 + h^2}} \right) \right. - \cdots$$

$$\cdots - \left. \arctan \left( \frac{x_{2} \; y_{1}}{h \; \sqrt[]... ...t( \frac{x_{1} \; y_{1}}{h \; \sqrt[]{x_{1}^2 +y_{1}^2 + h^2}} \right) \right\}$$

$$\hfill$$ (1.33)

Die Formel lässt sich in Programmiersprachen leicht als Funktion implementieren. Hier ein Beispiel in Visual Basic:

Private Function E(L, h, x1, x2, y1, y2)
 E =  L*
      (
        Atn(x2 * y2 / Sqr(x2^2 + y2^2 + h^2))
       -Atn(x1 * y2 / Sqr(x1^2 + y2^2 + h^2))
       -Atn(x2 * y1 / Sqr(x2^2 + y1^2 + h^2))
       +Atn(x1 * y1 / Sqr(x2^2 + y1^2 + h^2))
      )
End Function

Das Ergebnis für einen beliebigen Punkt in der Ebene bekommt man, wenn man die Koordinaten x und y des Strahlers um den entgegengesetzten Wert verschiebt oder direkt im Ausdruck für die Bestrahlungsstärke an einem beliebigen Punkt $(x,y)$ in der $x$ - $y$ - Ebene transformiert:

$$E_{I}(x,y) = L \left\{ \arctan \left( \frac{(x_{2}-x) \;(y_{2}-y)}{h \; \sqrt[]{(x_{2}-x)^2 + (y_{2}-y)^2 + h^2}} \right) - \right.$$

$$\left. - \arctan \left( \frac{(x_{1}-x) \;(y_{2}-y)}{h \; \sqrt[]{(x_{1}-x)^2 + (y_{2}-y)^2 + h^2}} \right) - \right.$$

$$\left. - \arctan \left( \frac{(x_{2}-x) \;(y_{1}-y)}{h \; \sqrt[]{(x_{2}-x)^2 + (y_{1}-y)^2 + h^2}} \right) + \right.$$

$$\left. + \arctan \left( \frac{(x_{1}-x) \;(y_{1}-y)}{h \; \sqrt[]{(x_{1}-x)^2 + (y_{1}-y)^2 + h^2}} \right) \right\}$$ (1.34)

Soll die rechteckige Strahlerfläche ein Lambertstrahler sein, kommt anstelle $\cos \vartheta_{Q}$ ein weiteres $h/r$ und anstelle $\cos \vartheta_{E}$ noch ein weiteres $h/r$ in den Integranden.

$$E_L = L_0 \int_{S_{Q}} \quad \frac{\cos \vartheta_{Q} \; \cos \vartheta_{E}}{ r^{2} } \quad dS_{Q}$$

$$= L_0 \int_{S_{Q}} \quad \frac{h^{2}}{ r^{4} } \quad dS_{Q}$$

$$= L_0 \; h^2 \int_{x_{1}}^{x_{2}} \int_{y_{1}}^{y_{2}} \frac{1}{{(x^2 + y^2 + h^2})^2} \; dx \; dy$$

$$= \frac{L_0}{2} \left[ \frac{y}{\sqrt[]{y^2 + h^2}} \arctan\left( \... ...t( \frac{y}{\sqrt[]{x^2 + h^2}} \right) \right]_{x_{1} , y_{1}}^{x_{2} , y_{2}}$$

$$= \frac{L_0}{2} \left\{ \frac{y_{2}}{ \sqrt[]{y_{2}^2 + h^2}} \arct... ...2}} \arctan\left( \frac{y_{2}}{\sqrt[]{x_{2}^2 + h^2}} \right) \right. - \cdots$$

$$\cdots - \frac{y_{1}}{ \sqrt[]{y_{2}^2 + h^2}} \arctan\left( \fra... ...}^2 + h^2}} \arctan\left( \frac{y_{2}}{\sqrt[]{x_{2}^2 + h^2}} \right) - \cdots$$

$$\cdots - \frac{y_{1}}{ \sqrt[]{y_{1}^2 + h^2}} \arctan\left( \fra... ...}^2 + h^2}} \arctan\left( \frac{y_{1}}{\sqrt[]{x_{1}^2 + h^2}} \right) + \cdots$$

$$\left. \cdots + \frac{y_{1}}{ \sqrt[]{y_{1}^2 + h^2}} \arctan\lef... ...}^2 + h^2}} \arctan\left( \frac{y_{1}}{\sqrt[]{x_{1}^2 + h^2}} \right) \right\}$$

Eine Funktionsvorschrift für $E(x ,y)$ läßt sich wieder durch Ersetzung analog $(x_{1}) \rightarrow (x_{1}-x)$ gewinnen, was hier nicht weiter ausgeführt wird um Platz zu sparen. Die Formel sieht kompliziert aus, lässt sich aber in Programmiersprachen leicht als Funktion implementieren. Hier ein Beispiel in Visual Basic, bei dem auch die Struktur der Formel schön zum Ausdruck kommt:

Private Function E(L, h, x1, x2, y1, y2)
   E =  integral(L, h, x2, y2)
      - integral(L, h, x1, y2)
      - integral(L, h, x2, y1)
      + integral(L, h, x1, y1)
End Function

Die Funktion E ruft einfach vier mal mit jeweils neuen Parametern die Funktion integral auf und rechnet die Werte zusammen.

Private Function integral(L, h, x, y)
integral = L * 0.5 *
(  y / Sqr(y^2 + h^2) * Atn(x / Sqr(y^2 + h^2))
  +x / Sqr(x^2 + h^2) * Atn(y / Sqr(x^2 + h^2)) )
End Function

Das wars schon.

Um die Ergebnisse der Gleichungen 1.29, 1.31,1.35 und 1.33 vergleichen zu können werden sie mit einer gleich großen Strahlerfläche und gleichen Abständen durchgerechnet. Eine 1 m$^2$ große Strahlerfläche wird als Kreis mit Radius $\sqrt[]{1/ \pi}$ oder als Integrationsbereich $x_{1} = y_{1} = -0,5 m$ bis $x_{2} = y_{2} = 0,5 m$ beschrieben. Die Rechenergebnisse für verschiedene Abstände h auf der senkrechten Strahlerachse sind in Tabelle 1.4 zusammengestellt.

Im Fall h=0 gibt es nur zwei verschiedene Ergebnisse für Strahler nach Gleichung 1.5 und Lambertstrahler nach Gleichung 1.4. Die Bestrahlungsstärke für den Gleichung 1.5 -Typ ist größer, weil er Strahlung auch unter großen Winkeln $\vartheta$ mit hoher Intensität abstrahlt. Auch die Randbereiche des Strahlers tragen zur Bestrahlungsstärke im Zentrum bei. Beim Gleichung 1.4 -Typ werden die Randbereiche zusätzlich um $\cos \vartheta$ geschwächt.

Für große Abstände spielt die Unterscheidung keine Rolle, da $\cos \vartheta$ über den Integrationsbereich konstant wird und die Ergebnisse werden gleich. Wie man für 10 und 20 Meter sehen kann viertelt sich die Bestrahlungstärke bei Abstandsverdopplung. Für große Entfernungen gilt das photometrische Entfernungsgesetz.

Table: Ergebnisse aus Beispielrechnungen für 1 m$^2$ Strahlerfläche

$h$	mit Gl. 1.29	mit Gl. 1.31	mit Gl. 1.33	mit Gl. 1.35
$0 \mathrm{m}$	$2 \pi \; L$	$\pi \; L$	$2 \pi \; L$	$\pi \; L$
$1 \mathrm{m}$	$0,810870 \; L$	$0,758547 \; L$	$0,805432 \; L$	$0,752275 \; L$
$10 \mathrm{m}$	$0,009976 \; L$	$0,009968 \; L$	$0,009975 \; L$	$0,009967 \; L$
$20 \mathrm{m}$	$0,002499 \; L$	$0,002498 \; L$	$0,002498 \; L$	$0,002498 \; L$